Um rei e um cavaleiro podem forçar um impasse contra um rei solitário?


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Acredito que um rei e dois cavaleiros são capazes de forçar um impasse contra um rei solitário (embora obviamente não seja xeque-mate) ... mas e um rei e um cavaleiro contra um rei solitário?

Primeiro pensei que forçar um impasse seria impossível. Então, montei uma posição aleatória com King + Knight vs King, onde o rei solitário estava no limite do tabuleiro, e tentei analisá-lo.

O resultado: as brancas podem forçar um impasse! O truque é a jogada 3. Kd2 !!

Impasse em 9 - -
1. Nb2 Ka2 2. Nc4 Ka1
( 2 ... Kb1 3. Kd2 Ka1 ( 3 ... Ka2 4. Kc2 Ka1 5. Na3 Ka2 6. Nb1 Ka1 7. Nc3 ) 4. Kc1 Ka2 5. Kc2 Ka1 6. Na3 Ka2 7. Nb1 Ka1 8. Nc3 )
3. Kd2 Kb1
( 3 ... Ka2 4. Kc2 Ka1 5. Na3 Ka2 6. Nb1 Ka1 7. Nc3 )
4. Kd1 Ka1
( 4 ... Ka2 5. Kc2 Ka1 6. Na3 Ka2 7. Nb1 Ka1 8. Nc3 )
5. Kc1 Ka2 6. Kc2 Ka1 7. Na3 Ka2 8. Nb1 Ka1 9. Nc3

Isso não prova que um rei e um cavaleiro sempre podem forçar um impasse contra um rei solitário, mas pelo menos mostra que não é completamente inconcebível que o rei + cavaleiro possa forçar o impasse.

Obviamente, não quero uma resposta "sim / não" sem nenhuma evidência para apoiá-la. Eu gostaria de uma prova irrefutável ou pelo menos alguma evidência muito forte.

Uma idéia é criar uma base de tabela de final de jogo que leve em consideração o impasse como uma vitória, o que equivale a dizer que as brancas vencem quando capturam o rei das pretas. Seria necessário apenas 64x63x62 = 249984 posições.

Uma segunda idéia seria obter um mecanismo básico e modificar seu código para que ele levasse em conta o impasse como uma vitória, e você provavelmente também pode jogar fora a maior parte do código do mecanismo para fazê-lo calcular mais rapidamente. Em seguida, faça-o calcular King + Knight vs King em algumas posições em que o rei solitário começa na borda do tabuleiro (mas não muito perto de um canto). Mas essa ideia seria menos convincente do que a base da mesa.

Respostas:


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Uma pesquisa exaustiva por computador mostra que, como esperado, o K + N geralmente não pode forçar o impasse contra um K. solitário.

De fato, o rei defensor pode evitar o impasse, desde que não esteja em um dos bairros triangulares de seis quadrados dos cantos mostrados no diagrama a seguir

Zona de perigo

mesmo na extremidade longa de cada triângulo (os doze Reis Brancos no diagrama), o impasse só pode ser forçado em algumas posições especiais. Ou seja, Kb2 para mover pode ser impedido pela força apenas a partir desta posição

Zugzwang mútuo

e sua reflexão sobre a diagonal a1-h8; e Ka3 para se mover é estagnado somente se estiver enfrentando um Kc3 e um Cavaleiro em um dos quadrados b2, c5, b6 que controlam a4 (o primeiro deles surge no início do empate em 9 mostrado por Petrosian ).

Segue-se também que cada uma dessas quatro posições é mútua Zugzwang: o zagueiro é impedido pela força apenas se em movimento. Existem poucos Zugzwangs suficientes (até simetrias de placa) para listar todos eles. Uma é a posição de perda única de comprimento máximo:

Zugzwang mútuo

Mais dois são obtidos movendo os reis de b1 / d1 para a1 / c1 ou a2 / c2. Finalmente, Ka2 contra Kc2 e Nb1 (b5) são os zugwangs mútuos mais curtos.

Como sugeriu Glorfindel , algumas dessas posições são relevantes para o final de Troitzky KNN / KP. Por exemplo, este é um Zugzwang mútuo (no sentido usual de vencer uma BTM e empatar WTM), assim como cada uma das três posições da BTM na linha principal 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

Zugzwang mútuo

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A pergunta se rei e cavaleiro contra o rei por si só pode forçar um impasse é bastante teórica. Na prática, é sempre um empate, pois o rei e o cavaleiro são incapazes de acasalar o rei sozinho.

O impasse não pode ser forçado. Isso só pode ser alcançado quando o rei está sozinho em um dos cantos; portanto, o rei deve ajudar:


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Não é totalmente teórico. No final do jogo KNN vs KP, que em algumas condições é ganho para o lado dos cavaleiros, o procedimento de vitória depende do bloqueio do peão com um cavaleiro, impedindo o rei solitário com rei + cavaleiro e permitindo que o peão corra enquanto o bloqueio cavaleiro entrega xeque-mate.
Glorfindel

O OP perguntou se era possível um impasse forçado em KN vs K.
Marco

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O ponto de vista de Glorfindel é que, se você tiver um procedimento de impasse no KN vs K, poderá usar esse procedimento para vencer o KNN vs o KP.
perfil completo de dfan

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@dfan Ganhar Troitzky não é o mesmo que forçar um impasse no KN / K. Mesmo que apenas um N se mova, outro N ajuda fortemente no processo.
user58697

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@ user58697 Sim, concordou. Se fosse possível impasse com segurança um rei com apenas um rei e um cavaleiro, KNN vs KP seria muito mais fácil!
Dfan
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