Existem problemas de NP, não em P e nem NP Complete?


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Existem problemas conhecidos em (e não em ) que não são completos? Meu entendimento é que atualmente não há problemas conhecidos, mas não foi descartada como uma possibilidade. P N PNPPNP

Se houver um problema (e não ), mas não , isso seria resultado de nenhum isomorfismo existente entre as instâncias desse problema e o conjunto ? Nesse caso, como saberíamos que o problema não é 'mais difícil' do que o que identificamos atualmente como o conjunto ?P N P - c o m p L e T e N P - c o m p L e T e N P N P - c o m p L e T eNPPNP-completeNP-completeNPNP-complete


Respostas:


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Existem problemas conhecidos no NP (e não no P) que não são NP Complete? Meu entendimento é que atualmente não há problemas conhecidos, mas não foi descartada como uma possibilidade.

Não, isso é desconhecido (com exceção dos idiomas triviais e Σ , esses dois não estão completos devido à definição de muitas reduções de uma, geralmente essas duas são ignoradas ao considerar reduções de uma). Existência de uma N P problema que não é completo para N P wrt muitos-ona reduções de tempo polinomial implicaria que PN P que não é conhecida (embora amplamente acreditado). Se as duas classes são diferentes, então sabemos que há problemas na N P que não estão completos para ele, tomar qualquer problema em P .ΣNPNPPNPNPP

Se houver um problema NP (e não P), mas não NP Complete, isso seria resultado de nenhum isomorfismo existente entre as instâncias desse problema e o conjunto NP Complete?

Se as duas classes de complexidade são diferentes, então pelo Teorema de Ladner há problemas que são Intermédio, ou seja, são entre P e N P - c o m p L e T e .NPPNP-complete

Nesse caso, como saberíamos que o problema do NP não é "mais difícil" do que o que atualmente identificamos como o conjunto NP Complete?

Eles são ainda redutível tempo polinomial para problemas de modo que não pode ser mais difícil do que N P - c o m p L e T e problemas.NP-completeNP-complete


Faz alguns anos, mas eu tinha a impressão de que os problemas do NP-Hard se encaixam na descrição do OP, onde eles se encaixam?
22412 Kevin

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@ Kevin: Não, NP-hard significa que um problema é pelo menos tão difícil quanto os problemas mais difíceis em NP.
Huck Bennett

E quanto a problemas com o tempo de execução psuedo-polinomial?
315 Joe

@ Joe, não tenho certeza do que você quer dizer, se você tiver uma pergunta, poste-a como uma nova pergunta.
Kaveh

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Ah, claro, assumindo P! = NP. Tal problema seria o isomorfismo de grafos, certo?
levi

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Como @Kaveh afirmou, essa pergunta só é interessante se assumirmos que ; o resto da minha resposta toma isso como uma suposição e, principalmente, fornece links para aumentar ainda mais seu apetite. Sob essa hipótese, pelo teorema de Ladner sabemos que há problemas que não são nem em P nem N P C ; estes problemas são chamados N P Intermédio ou N P I . Curiosamente, o teorema de Ladner pode ser generalizado para muitas outras classes de complexidade para produzir problemas intermediários semelhantes. Além disso, o teorema também implica que existe uma hierarquia infinitaPNPPNPCNPNPIde problemas intermediários que não são redutíveis-tempo poli uns aos outros em .NPI

Infelizmente, mesmo com a suposição , é muito difícil encontrar problemas naturais que seriam prováveis N P I (é claro que você tem problemas artificiais provenientes da prova do teorema de Ladner). Assim, mesmo assumindo P N P neste momento, só podemos acreditar que alguns problemas são N P I, mas não provam isso. Chegamos a essas crenças quando temos evidências razoáveis ​​para acreditar que um problema de N P não está em N P C e / ou não em PPNPNPIPNPNPINPNPCP; ou apenas quando foi estudado por um longo tempo e evitou se encaixar em qualquer uma das classes. Há uma lista bastante abrangente de tais problemas nesta resposta . Inclui os favoritos de todos os tempos, como fatoração, log discreto e isomorfismo gráfico.

Curiosamente, alguns desses problemas (notáveis: fatoração e log discreto) têm soluções de tempo polinomial em computadores quânticos (ou seja, estão em ). Alguns outros problemas (como o isomorfismo do gráfico) não são conhecidos em B Q P , e há pesquisas em andamento para resolver a questão. Por outro lado, suspeita-se que N P C B Q P , portanto, as pessoas não acreditam que teremos um algoritmo quântico eficiente para SAT (embora possamos obter uma velocidade quadrática); é uma questão interessante se preocupar com que tipo de estrutura os problemas de precisam para estar no .BQPBQPNPCBQPB Q PNPIBQP


Um resultado realmente recente de Babai (consulte jeremykun.com/2015/11/12/… ) fornece um algoritmo quase-polinomial para isomorfismo de gráfico, basicamente removendo-o do NPI, se o resultado for válido. Curiosamente, foi o problema que não foi conhecido por ser em BQP
Frédéric Grosshans

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@ FrédéricGrosshans, com um algoritmo de tempo quase-polinomial, não o remove do NPI (na verdade, ele nem o remove do NPC, a menos que você faça suposições mais fortes do que apenas P! = NP). O resultado de Babai (se correto, o que provavelmente é) apenas fornece evidências circunstanciais de que GraphIso pode estar em P, porque no passado, quando foram encontrados algoritmos quasipolinomiais para problemas difíceis, eles acabaram levando a algoritmos polinomiais.
Artem Kaznatcheev 18/11/2015

1
FrédéricGrosshans Babai retirou a alegação de tempo de execução quase-polinomial . Aparentemente, houve um erro na análise.
Raphael

@ Rafael, pelo meu comentário anterior, não acho que Babai relaxar o quasipolinômio para subexponencial não seja particularmente relevante para a discussão em questão.
Artem Kaznatcheev

Como esse comentário ainda está aqui, eu não queria que ele fosse corrigido. (Basicamente, localizei todas as ocorrências de "Babai" no site e postei o mesmo comentário.) Sinta-se livre para sinalizar todos os comentários que parecerem obsoletos como tais.
Raphael

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Nenhuma NP problemas -completo são conhecidos por serem em P . Se houver um algoritmo de tempo polinomial para qualquer problema completo de NP , então P = NP , porque qualquer problema em NP tem uma redução de tempo polinomial para cada problema de NP completo. (Na verdade, é assim que " NP- complete" é definido.) E, obviamente, se todo problema de NP- complete estiver fora de P , isso significa que PNP . Não sabemos ao certo por que é difícil mostrar de uma maneira ou de outra; se soubéssemos a resposta para essa pergunta, provavelmente saberíamos muito mais sobre P eNP . Temos algumas técnicas de prova que sabemos que não funcionam (relativização e provas naturais, por exemplo), mas não temos uma explicação de princípio sobre por que esse problema é difícil.

Se há problemas em NP que não estão em P , na verdade há uma hierarquia infinita de problemas em NP entre aqueles em P e aqueles que são NP completos: esse é um resultado chamado teorema de Ladner .

Espero que isto ajude!


por favor explique: Sabe-se que nenhum problema no NP não está no P? Todos os P já não estão em NP?

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@ Shimano- Estes são dois conceitos diferentes: Todos os problemas em P são conhecidos por estar em NP. No entanto, não sabemos se algum problema no NP não está no P. Ou seja, sabemos que P é um subconjunto do NP, mas não sabemos se o NP é um subconjunto do P. Isso esclarece as coisas?
Templatetypedef

As coisas estão ficando mais claras agora. Muito obrigado por suas respostas rápidas. Mais um esclarecimento necessário. Você disse: "A razão para isso é que qualquer problema no NP tem uma redução no tempo polinomial para cada problema no NP completo". Isso prova que todos os problemas no NP são automaticamente NP-complete? Estou um pouco confuso novamente

@ Shimano- Não é bem assim. A direção da redução é importante. Um problema é NP-completo se todos os problemas no NP se reduzirem a esse problema. Você também pode mostrar que um problema é NP-difícil, reduzindo um problema NP-complete conhecido a esse problema. No entanto, mostrar que um problema no NP se reduz a um problema NP-completo não mostra nada de novo, pois, por definição, todos os problemas do NP se reduzem a todos os problemas do NP-completo.
Templatetypedef

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@ O teorema de Shimano- Ladner diz que se P! = NP, então deve haver problemas intermediários de NP; portanto, se não houver problemas intermediários de NP, P = NP. E sim - se pudermos encontrar um problema no NP que não esteja no P, independentemente de estar no BQP, então P! = NP.
Templatetypedef

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