Tipos de reduções e definições associadas de dureza

Seja A redutível a B, isto é, $A \leq B$ . Assim, a máquina de Turing aceitar $A$ tem acesso a um Oracle para $B$ . Permita que a máquina de Turing que aceita $A$ seja $M_{A}$ e o oráculo para $B$ seja . Os tipos de reduções:$O_{B}$

• Redução de Turing: pode fazer várias consultas para . O $M_{A}$$O_{B}$

• Redução de Karp: Também chamada de "redução de Turing no tempo polinomial": a entrada para deve ser construída em tempo polifônico. Além disso, o número de consultas para deve ser limitado por um polinômio. Nesse caso: . O B P A = P $O_{B}$$O_{B}$$P^{A} = P^{B}$

• Redução de Turing em muitos: pode fazer apenas uma consulta para , durante a última etapa. Portanto, a resposta do oráculo não pode ser modificada. No entanto, o tempo necessário para construir a entrada para não precisa ser limitado por um polinômio. Equivalentemente: ( denota redução de muitos) O B O B ≤ $M_{A}$$O_{B}$$O_{B}$$\leq_{m}$

  $A \leq_{m} B$ se uma função calculável tal que f (x) \ em B \ sse x \ em A .f : Σ * → Σ * f ( x ) ∈ $\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• Redução de cozimento: Também chamada de "redução do número polinomial do número um": Uma redução do número um em que o tempo necessário para construir uma entrada para $O_{B}$ deve ser limitado por um polinômio. Equivalentemente: ( $\leq^{p}_{m}$ denotando redução de muitos)

  $A \leq^p_{m} B$ se $\exists$ uma função computável em tempo polivalente $f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ modo que $f(x) \in B \iff x\in A$ .

• Redução parcimoniosa: Também chamado de "tempo polinomial one-one redução": redução de um cozinheiro, onde cada instância de $A$ mapeado para uma instância única de $B$ . Equivalentemente: ( $\leq^{p}_{1}$ denota redução parcimoniosa)

  $A \leq^p_{1} B$ se $\exists$ uma bijeção computável em tempo poligonal $f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ modo que $f(x) \in B \iff x\in A$ .

  Essas reduções preservam o número de soluções. Portanto, $\#M_{A} = \#O_{B}$ .

Podemos definir mais tipos de reduções limitando o número de consultas do Oracle, mas, excluindo-as, alguém poderia me dizer se obtive a nomenclatura para os diferentes tipos de reduções usados ​​corretamente. Os problemas NP-completos são definidos com respeito à redução de Cook ou redução parcimoniosa? Alguém pode gentilmente dar um exemplo de um problema que é NP-completo sob Cook e não sob redução parcimoniosa.

Se não estou errado, a classe # P-Complete é definida em relação às reduções de Karp.

Sua definição de reduções parcimoniosas está incorreta. Você está confundindo-o com reduções one-one de tempo polinomial, que é um caso especial de reduções de Karp. Eles não preservam o número de "soluções". Consulte esta resposta para obter mais informações sobre reduções, considerando o número de certificados.

O resto parece bom, embora seja geralmente melhor visualizá-los em um gráfico bidimensional:

• a complexidade da redução: tempo computável, polinomial, espaço logarítmico, etc.
• tipo de acesso: Turing, muitos-um, um-um etc.

Os problemas NP-completos são definidos com respeito à redução de Cook ou redução parcimoniosa?

dureza e integridade são definidos wrt reduções Karp (polytime muitos-ona), não Cozinhe nem reduções parcimonioso.$\mathsf{NP}$

Alguém pode gentilmente dar um exemplo de um problema que é NP-completo sob Cook e não sob redução parcimoniosa.

Tomar o complemento de sab, é completo para sob reduções de Cook, não se acredita que seja completo para N P sob reduções Karp. As reduções de Karp incluem reduções polytime one-one.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

a classe # P-Complete é definida em relação às reduções de Karp

Observe que $\mathsf{\#P}$ não é um problema de classe de decisões, é uma classe de problemas de computação de funções. Sua dureza e completude são geralmente definidas através de reduções de Cook (polytime Turing). Veja, por exemplo, Arora e Barak, página 346.

A definição de redução de Karp está incorreta. Uma redução de Karp é uma redução de Turing em tempo polinomial em que o oráculo $O_B$ é chamado exatamente uma vez, durante a última etapa das reduções.