Existe um problema natural no natural que é NP-completo?


30

Qualquer número natural pode ser considerado como uma sequência de bits; portanto, inserir um número natural é o mesmo que inserir uma sequência 0-1; portanto, problemas NP-completos com entradas naturais obviamente existem. Mas existem problemas naturais, ou seja, aqueles que não usam codificação e interpretação especial dos dígitos? Por exemplo "Não é primo?" é um problema tão natural, mas este está em P. Ou "Quem vence o jogo Nim com montes de tamanho 3, 5, n, n?" é outro problema que considero natural, mas também sabemos que isso é em P. Também estou interessado em outras classes de complexidade em vez de NP.

Atualização: Como apontado por Emil Jeřábek, dado para determinar se tem uma solução sobre os naturais é NP-completo. Isso é exatamente o que eu tinha em mente como natural, exceto que aqui a entrada é de três números em vez de apenas um.a,b,cN,ax2+byc=0 0

Atualização 2: e depois de mais de quatro anos de espera, Dan Brumleve deu uma solução "melhor" - observe que ela ainda não está concluída devido à redução aleatória.


11
Conheço um problema de lado a lado NEXP-complete, em que a entrada é um número n e o problema é determinar se existe um lado a lado válido de uma grade nxn. Se isso for interessante para você, procurarei o jornal.
226126 Robin Kothari

2
@Emil: o comentário de domotorp foi uma resposta a uma confusão que tive. Mas foi um mal-entendido da minha parte, então excluí o comentário. Eu acho que a entrada é necessária para ser um único número natural, que não deve codificar nada.
Robin Kothari

8
@domotorp: O problema NP-I completo, quer dizer é, dada uma,b,cN , determinar se umax2+by-c=0 0 tem uma solução x,yN . Outra variante é, dado uma,b,c , determine se existe xc tal que x2uma(modb) . (O resultado é de dx.doi.org/10.1145/800113.803627 .)
Emil Jeřábek apoia Monica em

3
Por que a resposta a esta pergunta não é obviamente NÃO ? Todo problema difícil de NP possui instâncias que "codificam" um circuito booleano; indiscutivelmente, é isso que significa NP-hard!
Jeffε

2
@domotorp: talvez outro bom candidato "natural" seja o problema de encontrar as cadeias mínimas de adição de um único número : de Sobre o número de cadeias mínimas de adição : "... O problema de encontrar uma cadeia mínima de adição para um conjunto de números é NP-completo, o que não implica, pois às vezes se afirma que encontrar uma cadeia de adição mínima para é NP-completo.No entanto, podemos deduzir facilmente que o problema de encontrar todas as cadeias de adição mínimas para um número é NP-complete ... "nmnn
Marzio De Biasi

Respostas:


17

Esse problema tem uma variação com uma única entrada inteira:

Será que tem um divisor em estrita entre os seus dois maiores fatores primos?n

A idéia é usar a mesma redução aleatória da soma do subconjunto descrita na resposta superior à pergunta vinculada, mas com o intervalo de destino codificado como os dois maiores números primos em vez de dados separadamente. A definição tem uma aparência natural, mesmo que seja apenas uma função de emparelhamento disfarçada.

Aqui está outra variação do mesmo problema, com uma redução semelhante do problema de partição:

é o produto de dois números inteiros que diferem em menos de ?nn14

Em ambas as reduções, estamos "camuflando" um conjunto de números inteiros localizando números primos próximos e obtendo seu produto. Se for possível fazer isso em tempo polinomial, esses problemas serão NP-completos.

Eu acho que é esclarecedor olhar para esses exemplos, juntamente com o teorema de Mahaney : se e podemos encontrar números primos próximos, esses conjuntos não são escassos. É gratificante obter uma afirmação puramente aritmética da teoria da complexidade (mesmo que seja apenas conjetural e provavelmente provável de outra maneira).PNP


o que você quer dizer com 'se P ≠ NP e podemos encontrar números primos próximos'?
T ....

11
@ao., veja a resposta de Peter Shor descrevendo a redução. Para ser NP-completo, precisamos encontrar um primo com no tempo . Tentarei dar conta de tudo isso aqui mais tarde. | p - n | < n a O ( ( log n ) k )p|p-n|<numaO((logn)k)
Dan Brumleve

Quais conjuntos não são densos?
T ....

33

Com base na discussão, vou repassar isso como resposta.

Como provado por Manders e Adleman , o seguinte problema é NP-completo: dados os números naturais , determinam se existe um número natural x c tal que x 2aa,b,cxc .x2a(modb)

O problema pode ser equivalentemente indicou o seguinte: dada , determinar se o quadrática x 2 + b y - c = 0 tem uma solução x , y N .b,cNx2+by-c=0 0x,yN

(O artigo original declara o problema com , mas não é difícil ver que é possível reduzi-lo ao caso a = 1. )umax2+by-cuma=1 1


10

Aqui está um problema completo da com um único número natural como entrada.NEXP

O problema é de cerca de ladrilhos um grade com um conjunto fixo de telhas e restrições em telhas adjacentes e azulejos na fronteira. Tudo isso faz parte da especificação do problema; não faz parte da entrada. A entrada é apenas o número n . O problema é NEXP - completo para algumas opções de regras de mosaico, conforme mostrado emn×nnNEXP

D. Gottesman, S. Irani, "A Complexidade Quântica e Clássica de Azulejos Translacionalmente Invariáveis ​​e Problemas Hamiltonianos", Proc. 50º Symp anual. em Fundamentos de Ciência da Computação, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Também arXiv: 0905.2419 .

O problema está definido na página 5 da versão do arxiv.

Além disso, eles também definem um problema semelhante que é complete, que é o análogo quântico de erro limitado do NEXP . (O analógico clássico de erro limitado do NEXP é MA EXP .)QMAEXPNEXPNEXPMAEXP


3
+1, mas é um pouco difícil argumentar que o número está sendo usado de maneira "natural", pois codifica a entrada para uma determinada máquina de Turing (especificamente, a telha existe se a máquina de Turing aceitar x , em que x é o n- ésimo em uma enumeração de possíveis cadeias de entrada). Ainda é um resultado muito interessante. nxxn
Mjqxxxx 30/10/12

Eu concordo maximamente com mjqxxxx.
Domotorp 31/10/12

2

Eu acho que usando uma das variantes de complexidade de Kolmogorov, com limite de tempo, você pode criar um problema que usa apenas a representação binária de um número e (eu acho) é improvável que esteja em ; informalmente, é uma versão decidível do problema "Is n compressible?":Pn

Problema: Dado , existe uma máquina de Turing M de modo que | M | < L e M em saídas de uma fita em branco n em menos do que l 2 passos, onde l = log n é o comprimento da representação binária de nnM|M|<lMnl2l=lognn

É claramente em , porque dado n e M , apenas simular M para L 2 etapas e se ele pára comparar o resultado com o n .NPnMMl2n


Eu acho que esse problema é bastante baseado na TM, mas é claro que é impossível traçar uma linha.
Domotorp 31/10/12

Para refinar o comentário de domotorp, eu diria que o fato de ter que invocar a noção de uma máquina de Turing na descrição do problema a exclui como um "problema natural sobre números naturais". (Se supusermos que um problema ntaural sobre números naturais é aquele cujo formato geral seria consistente por exemplo, com Fermat ter estudado ele, sem supor também contrafactual a história da matemática.)
Niel de Beaudrap

2

Nosso artigo do FOCS'17 sobre Aritmética de Presburger Curto é um exemplo de um problema "natural" que é o NP-c e usa um número constante C de números inteiros na entrada, digamos C<220 . É diferente de Manders-Adleman, pois as restrições são todas desigualdades. Veja o post de Gil Kalai no blog para obter mais informações.


Eu acho que isso é mais natural que Manders-Adleman. É menor que variáveis ​​e 10 exemplos de desigualdade são possíveis? 510
T ....

Não, 5 variáveis ​​é a menor. 10 - não tenho certeza. Mas você realmente não pode ter menos de 6 ...
Igor Pak

Existe uma razão por trás de e 6 ? Quero dizer, está provado que todos 4 e número finito de desigualdades estão em P (da mesma forma que todas as 5 variáveis ​​e 5 formulações de desigualdades estão em P ?)? 564P55P
T ....

Sim. Para menos variáveis, o problema está em P.
Igor Pak

2
Sim. Está tudo em nosso artigo e na tese de Danny Nguyen. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf
Igor Pak

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.