Por que os pontos equi-espaçados se comportam mal?


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Descrição da experiência:

Na interpolação de Lagrange, a equação exata é amostrada em pontos (ordem polinomial ) e é interpolada em 101 pontos. Aqui varia de 2 a 64. Cada vez que , e gráficos de erro são preparados. Vê-se que, quando a função é amostrado em pontos equidistantes, o erro diminui inicialmente (isto acontece até é inferior a cerca de 15 ou mais) e, em seguida, o erro aumenta com aumento adicional no .NN1NL1L2LNN

Considerando que, se a amostragem inicial for feita nos pontos de Legendre-Gauss (LG) (raízes dos polinômios de Legendre) ou em pontos de Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) (raízes dos polinômios de Lobatto), o erro cai para o nível da máquina e não aumentar quando N é aumentado ainda mais.

Minhas perguntas são,

O que exatamente acontece no caso de pontos equi-espaçados?

Por que o aumento na ordem polinomial causa o erro após um certo ponto?

Isso também significa que, se eu usar pontos equi-espaçados para reconstrução WENO / ENO (usando polinômios de Lagrange), na região suave, obteria erros? (bem, essas são apenas perguntas hipotéticas (pelo que entendi), não é realmente razoável reconstruir o polinômio da ordem de 15 ou mais para o esquema WENO)

Detalhes adicionais:

Função aproximada:

f(x)=cos(π2 x),x[1,1]

x dividido emN equidistantes (e mais tarde LG). A função é interpolada em 101 pontos de cada vez.

Resultados:

  1. a) Pontos equi-espaçados (interpolação para N=65 ):

insira a descrição da imagem aqui

  1. b) Pontos equi-espaçados (gráfico de erros, escala logarítmica):

insira a descrição da imagem aqui

  1. a) pontos LG (interpolação para N=65 ): insira a descrição da imagem aqui

  2. b) pontos LG (gráfico de erro, escala de log):

insira a descrição da imagem aqui

Respostas:


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O problema com pontos equidistantes é que o polinômio do erro de interpolação, ou seja,

f(x)Pn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!i=0n(xxi),ξ[x0,xn]

xi

Se você usar pontos de Gauss-Legendre, o polinômio de erro é significativamente melhor comportado, ou seja, não explode nas bordas. Se você usar nós Chebyshev , esse polinômio equivale e o erro de interpolação é mínimo.


6
Há uma explicação bastante detalhada no livro de John P. Boyd Chebyshev e Fourier Spectral Methods, onde o polinômio de erro de interpolação de Pedro também é bem explicado (Capítulo 4.2 Página 85).
Bort

Obrigado. Também a constante de Lebesgue para as escolhas mencionadas acima se comporta de maneira diferente. Para pontos equi-espaçados, a constante de Lebesgue aumenta exponencialmente, enquanto para LG, LGL, Chebyshev isso meio que satura com o aumento de n. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , mas ainda há dúvidas sobre a implementação numérica ...
Subodh

Desculpe, eu não sei muito sobre ENO / WENO. Mas não esperarei problemas na região tranquila para interpolações de baixa ordem, embora os nós de quadratura sejam definitivamente a melhor escolha por razões aparentes.
Bort

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Esta é uma pergunta realmente interessante, e há muitas explicações possíveis. Se estamos tentando usar uma interpolação polinomial, observe que o polinômio satisfaz a seguinte desigualdade irritante

PN

|P(x)|N1x2maxx|P(x)|

para cada . Isso é conhecido como desigualdade de Bernstein ; observe a singularidade dessa desigualdade. Isso pode ser limitado pela desigualdade de Markovx(1,1)

maxx|P(x)|N2maxx|P(x)|

e observe que isso é nítido no sentido de que os polinômios de Chebysehv fazem disso uma equação. Portanto, em outras palavras, temos o seguinte limite combinado.

|P(x)|min(N1x2,N2)maxx|P(x)|

O que isso significa: os gradientes de polinômios crescem linearmente em sua ordem em qualquer lugar, exceto em pequenas vizinhanças dos limites do intervalo. Nos limites, eles crescem mais como . Não é por acaso que todos os nós de interpolação estáveis ​​têm um agrupando perto dos limites. O agrupamento é necessário para controlar os gradientes da base, enquanto que perto do ponto médio pode ser um pouco mais relaxado.N21/N2

Acontece, no entanto, que este não é necessariamente um fenômeno polinomial, sugiro o seguinte artigo:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Diz vagamente: se você tem o mesmo poder de aproximação da base polinomial, não pode usar pontos igualmente espaçados de maneira estável.


1

Não são os pontos igualmente espaçados que são o problema. É o suporte global das funções básicas, juntamente com pontos igualmente espaçados, que é o problema. Um interpolante perfeitamente bem condicionado, usando pontos igualmente espaçados, é descrito na Análise Numérica de Kress, usando funções de base spline cúbica-b de suporte compacto.


certo, mas então a sua interpolação não será suavizar globalmente (somente para o seu exemplo)C2
GoHokies

@GoHokies: Os splines compactamente suportados podem ser tão suaves quanto desejado por convolução iterativa. Qual é o caso de uso da interpolação ? C
user14717

ponto justo. ("posição-velocidade-aceleração") é suficiente para a maioria das aplicações. você pode querer para alguns problemas de valor-limite, mas não consegue pensar em nenhum caso de uso comum acima disso. C2C4
GoHokies

1

O que exatamente acontece no caso de pontos equi-espaçados?

Por que o aumento na ordem polinomial causa o erro após um certo ponto?

Isso é semelhante ao fenômeno de Runge, onde, com nós equi-espaçados, o erro de interpolação chega ao infinito com o aumento do grau polinomial, ou seja, o número de pontos.

Uma das raízes desse problema pode ser encontrada na constante de Lebesgue, conforme observado pelo comentário de @ Subodh à resposta do @Pedro. Essa constante relaciona a interpolação com a melhor aproximação.


Algumas anotações

Temos uma função para interpolar sobre os nós . Na interpolação de Lagrange são definidos os polinômios de Lagrange :fC([a,b])xk

Lk(x)=i=0,ijnxxixkxi

com isso é definido o polinômio de interpolação sobre os pares para notação levepnPn(xk,f(xk))(xk,fk)

pn(x)=k=0nfkLk(x)

Agora considere uma perturbação nos dados, isso pode ser, por exemplo, para arredondamento, portanto temos . Com isso, o novo polinômio é:f~kp~n

p~n(x)=k=0nf~kLk(x)

As estimativas de erro são:

pn(x)p~n(x)=k=0n(fkf~k)Lk(x)

|pn(x)p~n(x)|k=0n|fkf~k||Lk(x)|(maxk|fkf~k|)k=0n|Lk(x)|

Agora é possível definir a constante da Lebesgue como:Λn

Λn=maxx[a,b]k=0n|Lk(x)|

Com isso, as estimativas finais são:

||pnp~n||(maxk|fkf~k|)Λn

(observação marginal, nós olhamos apenas norma também porque estamos sobre um espaço de medida finita, então )LL1

A partir do cálculo acima, obtivemos que é:Λn

  • independente da data:
  • depende apenas da distribuição dos nós;
  • um indicador de estabilidade (quanto menor, melhor).

Também é norma do operador de interpolação respeitar o norma.||||

Com o seguinte teorema, temos uma estimativa do erro de interpolação com a constante de Lebesgue:

Seja e como acima, temos que é o erro do melhor polinômio de aproximação uniformefpn

||fpn||(1+Λn)dn(f)
dn(f)=infqnPn||fqn||

seja, se é pequeno, o erro da interpolação não está longe do erro da melhor aproximação uniforme e o teorema compara o erro de interpolação com o menor erro possível, que é o erro da melhor aproximação uniforme.Λn

Para isso, o comportamento da interpolação depende da distribuição dos nós. Há um limite inferior sobre que, dada a distribuição de um nó, existe uma constante tal que: para que a constante cresça, mas como ela cresce. importan.Λnc

Λn2πlog(n)c

Para nós equi-espaçados omiti alguns detalhes, mas vemos que o crescimento é exponencial.

Λn2n+1enlog(n)

Para nós Chebyshev também aqui, omiti alguns detalhes, há estimativas mais precisas e complicadas. Veja [1] para mais detalhes. Observe que os nós da família Chebyshev têm crescimento logarítmico e, a partir das estimativas anteriores, está próximo do melhor que você pode obter.

Λn2πlog(n)+4

Para outras distribuições de nós, consulte, por exemplo, a tabela 1 deste artigo .


Há muita referência no livro sobre interpolação. On-line, esses slides são legais como resumo.

Também este artigo aberto ([1])

Uma comparação numérica de interpolação de sete grades para polinômio no intervalo para várias comparações.


1

É bom estar ciente dos interpoladores Floater-Hormann quando você precisar (ou quiser) trabalhar com pontos equidistantes .{xi}i=1n

Dado o número inteiro com , seja o interpolante polinomial de . Então o interpolante FH de uma função em tem a formad0dnpi{xi,xi+d}f{xi}i=1n

rn(x):=i=0ndλi(x)pi(x)i=0ndλi(x)

com as "funções de mesclagem"

λi(x)=(1)i(xxi)(xxi+d)

Algumas propriedades desses interpolantes:

  • eles são interpolantes racionais baricêntricos, sem pólos reais ;
  • obter ordens de aproximação arbitrárias para , independentemente da distribuição dos pontos;O(hd+1)fCd+2[a,b]
  • são um pouco semelhantes aos splines, pois misturam interpolantes polinomiais (locais) com os atuando como funções de mesclagem;p0,pndλ
  • eles reproduzem polinômios de grau no máximo (ou se for ímpar);dd+1nd
  • pode ser escrito em forma barricêntrica (consulte a seção 4 do artigo de Floater e Hormann).

Advertência ao emptor : Como esperado (consulte o artigo referenciado por @ Reid.Atcheson), o aumento de diminui rapidamente o condicionamento do processo de aproximação.d

Há algum trabalho bastante recente feito por Klein para aliviar esse problema. Ele modificou a abordagem original de Floater-Hormann adicionando novos valores de dados correspondentes a pontos fora do intervalo de interpolação original construído a partir de uma extensão suave de fora de usando apenas os dados fornecidos . Esse conjunto de dados "global" é interpolado por uma nova função racional FH e avaliado apenas dentro de .2d [a,b]f[a,b]f0,fnrn+2d[a,b]

Os detalhes são detalhadamente apresentados no artigo de Klein (link abaixo), onde é mostrado que esses interpolantes racionais estendidos têm constantes de Lebesgue que crescem logaritmicamente com e (enquanto que para o esquema FH original, esse crescimento é exponencial em , consulte Bos et al. ).ndd

A biblioteca Chebfun usa interpolantes de FH ao criar chebfunsdados equidistantes, conforme explicado aqui .

Referências:

MS Floater e K. Hormann, interpolação racional baricêntrica sem pólos e altas taxas de aproximação, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, Uma Extensão da Família Floater-Hormann de Interpolantes Racionais Baricêntricos, Matemática da Computação , 82 (2011) - preprint

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann e G. Klein, Sobre a constante de Lebesgue de interpolação racional baricêntrica em nós equidistantes, Numer. Matemática. 121 (2012)

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