Testando se duas matrizes 12x12 têm o mesmo determinante


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12×12Q

det(Q)=det(12IQJ)(1)
J

Atualmente, estou fazendo isso com a biblioteca do tatu , mas ela acaba sendo muito lenta. O problema é que eu preciso fazer isso por um trilhão de matrizes e acontece que calcular os dois determinantes é o gargalo do meu programa. Portanto, eu tenho duas perguntas

  1. Existe algum truque que eu possa usar para calcular o determinante mais rapidamente, desde que eu saiba o tamanho deles? Talvez haja uma expansão confusa para 12×12matrizes 12 \ times12 que poderiam funcionar nesse caso?

  2. Existe alguma outra maneira eficiente de testar a igualdade (1)

Editar. Para responder aos comentários. Eu preciso calcular todos os gráficos não auto-complementares conectados G da ordem 13 , de modo que G e G¯ tenham o mesmo número de árvores de abrangência. A motivação para isso pode ser encontrada nesta postagem do mathoverflow . Quanto à máquina, eu estou executando isso em uma máquina de 3,4 GHh de 8 núcleos em paralelo.

Editar. Consegui reduzir o tempo de execução esperado em 50% criando um programa C para calcular especificamente o determinante de uma matriz 12×12 . Sugestões ainda são bem-vindas.


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Quão lento é muito lento? Quanto tempo leva em que hardware? Os trilhões desses são independentes para que você possa calcular muitos desses determinantes em paralelo? Se sim, qual o tamanho de uma máquina que você pode executar? O que levou a esse problema? Tem certeza de que precisa calcular os determinantes? Q
Bill Barth

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Com que frequência (para qual fração dos casos) os determinantes são iguais / diferentes? Se eles são diferentes na maioria das vezes, pode haver um teste mais barato para determinar se eles podem ser diferentes e você verificaria se eles são os mesmos somente se o primeiro teste falhar. O contrário, se eles são os mesmos na maioria das vezes.
Wolfgang Bangerth

1
Como já perguntado: você poderia fornecer alguns detalhes sobre de onde veio? Talvez exista uma abordagem melhor do que os determinantes da computação às cegas. Q
JM

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A noção de que essa condição deve ser testada "para um trilhão de matrizes" sugere 1) que é conhecido a priori por ter alguma estrutura especial (caso contrário, a expectativa de que a condição seja aleatória é pequena) e 2) que uma abordagem melhor pode ser para caracterizar todas as matrizes com essa propriedade (com uma formulação eficientemente verificável). QQQ
hardmath

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@hardmath Sim, é uma matriz inteira com entradas diagonais que variam de a e1 12 - 1Q1121 como fora elementos diagonais
Jernej

Respostas:


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Como você já está usando C ++ e suas matrizes são definidas positivamente simétricas, eu realizaria um processo não dinâmico Q 12 I - Q - J 12 I - Q - J L D L TLDLT fatoração dinâmica de e também de . Aqui, estou assumindo que o também é definido positivamente, caso contrário, o exigirá um pivô para estabilidade numérica (também é possível que, embora não seja definido positivamente, o pivotamento não seja necessário, mas você deve experimentá-lo).Q12IQJ12IQJLDLT

Isso é mais rápido que uma fatoração de LU e também mais rápido que Cholesky, porque raízes quadradas são evitadas. O determinante é simplesmente o produto dos elementos da matriz diagonal . O código para executar uma fatoração LDL é tão simples que você pode escrevê-lo em menos de 50 linhas de C. A página da Wikipedia descreve o algoritmo, e eu tenho um código de modelo simples para executar Cholesky aqui . Você pode simplificá-lo bastante e modificá-lo para evitar a raiz quadrada para implementar a fatoraçãoL D L TDLDLT

Como você também pode controlar o formato de armazenamento, é possível otimizar ainda mais a rotina para armazenar apenas metade da matriz e agrupá-la em uma matriz linear para maximizar a localidade da memória. Eu também escreveria rotinas simples de produtos personalizados e atualizações de classificação 1, já que os tamanhos dos problemas são tão pequenos que você deve deixar o compilador alinhar as rotinas para reduzir a sobrecarga de chamadas. Como é um loop de tamanho fixo, o compilador deve ser capaz de alinhar e desenrolar automaticamente as coisas quando apropriado.

Eu evitaria tentar fazer truques para aproveitar o fato de que Q12IQJ conter dentro da expressão. É provável que, para tamanhos de problemas tão pequenos, esses truques acabem sendo mais lentos do que simplesmente realizar dois cálculos determinantes separados. Obviamente, a única maneira de verificar essas alegações é tentar.Q


1
Eu apóio a recomendação de implementar o , também conhecido como Cholesky sem raiz, já que o Armadillo não parece ter uma maneira de tirar vantagem da definição positiva / dominância diagonal. LDLT
hardmath

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Sem algumas informações sobre a construção dessas matrizes simétricas reais definidas positivas, as sugestões a serem feitas são necessariamente limitadas.12×12

Fiz o download do pacote Armadillo do Sourceforge e dei uma olhada na documentação. Tente melhorar o desempenho da computação separada e , onde é a matriz de classificação um de todos, definindo por exemplo . A documentação observa que esse é o padrão para matrizes de tamanhodet(Q)det(12IQJ)Jdet(Q,slow=false)4×4 , portanto, por omissão, presumo que a slow=trueopção seja um padrão para o caso .12×12

O que slow=true presumivelmente faz é uma rotação parcial ou total na obtenção de um formulário de escalão de linha, a partir do qual o determinante é facilmente encontrado. No entanto, você sabe com antecedência que a matriz é definitiva positiva, portanto, o giro é desnecessário para a estabilidade (pelo menos presumivelmente para a maior parte de seus cálculos. Não está claro se o pacote Armadillo lança uma exceção se os pivôs se tornarem indevidamente pequenos, mas isso deve ser um recurso de um pacote de álgebra linear numérica razoável.Edit : Encontrei o código do Tatu que implementa no arquivo de cabeçalho , usando modelos C ++ para funcionalidade substancial. A configuração não parece afetar como umQdetinclude\armadillo_bits\auxlib_meat.hppslow=false12×12o determinante será feito porque o cálculo é "jogado por cima de um muro" para o LAPACK (ou ATLAS) nesse ponto, sem indicação de que não é necessário girar; veja det_lapacke suas invocações nesse arquivo.

O outro ponto seria seguir a recomendação de criar o pacote Armadillo vinculado a substituições de alta velocidade para BLAS e LAPACK, se você realmente estiver usando; veja a seção 5 do arquivo README.TXT do Armadillo para obter detalhes. [O uso de uma versão dedicada de 64 bits do BLAS ou LAPACK também é recomendado para obter velocidade nas máquinas atuais de 64 bits.]

A redução de linha na forma de escalão é essencialmente uma eliminação gaussiana e tem complexidade aritmética . Para ambas as matrizes, isso equivale ao dobro do trabalho, ou . Essas operações podem muito bem ser o "gargalo" em seu processamento, mas há pouca esperança de que, sem uma estrutura especial em23n3+O(n2)43n3+O(n2)Q (ou algumas relações conhecidas entre os trilhões de casos de teste que permitem a amortização), o trabalho possa ser reduzido para .O(n2)

Para comparação, a expansão por co-fatores de uma matriz envolveoperações de multiplicação (e aproximadamente tantas adições / subtrações); portanto, para a comparação ( vs. ) favorece claramente a eliminação dos cofatores.n×nn!n=1212!=47900160023n3=1152

Outra abordagem que requer trabalho seria reduzir para a forma tridiagonal com transformações de Householder, que também coloca na forma tridiagonal. A computação e pode ser realizada posteriormente em operações. [O efeito da atualização do ranking um43n3+O(n2)Q12IQdet(Q)det(12IQJ)O(n)J no segundo determinante pode ser expresso como um fator escalar dado pela resolução de um sistema tridiagonal.]

A implementação de uma computação independente pode valer a pena como uma verificação dos resultados de chamadas bem-sucedidas (ou com falha) à detfunção do Armadillo .

Caso especial: Como sugerido por um Comentário de Jernej, suponha que onde como antes é a matriz (rank 1) de todos e seja um matriz diagonal não singular (positiva). De fato, para a aplicação proposta na teoria dos grafos, essas seriam matrizes inteiras. Em seguida, uma fórmula explícita paraQ=DJJD=diag(d1,,dn)det(Q) é:

det(Q)=(i=1ndi)(1i=1ndi1)

Um esboço de sua prova oferece uma oportunidade para ilustrar uma aplicabilidade mais ampla, ou seja, sempre que tem um determinante conhecido e o sistemaDDv=(11)T é rapidamente resolvido. Comece fatorando:

det(DJ)=det(D)det(ID1J)

Agora está novamente no ranking 1, a saberD1J(d11dn1)T(11) . Observe que o segundo determinante é simplesmente:

f(1)=det(ID1J)

onde é o polinómio característico de . Como uma matriz de classificação 1, deve ter (pelo menos) fatores de para explicar seu espaço nulo. O valor próprio "ausente" éf(x)D1Jf(x)n1xdi1 , como pode ser visto no cálculo:

D1J(d11dn1)T=(di1)(d11dn1)T

Segue-se que a característica polinomial , e é tal como mostrado acima para , .f(x)=xn1(xdi1)f(1)det(ID1J)1di1

Observe também que se , então , uma matriz diagonal cujo determinante é simplesmente o produto de suas entradas diagonais.Q=DJ12IQJ=12ID+JJ=12ID


Hm .. é de fato onde é a matriz de adjacência de então acho que esse resultado pode não estar correto. Em particular, isso implicaria que o número de árvores abrangidas de um gráfico é determinado por sua sequência de graus que não é válida. QDAAGG
Jernej

As entradas fora da diagonal de geralmente conterão 0 e -1. A decomposição do sugerida por Victor tira proveito da simetria e reduz o termo principal na contagem de operações de para . Existe uma abordagem inteira exata, mas isso provavelmente não é necessário para sua matriz e entradas de tamanho modesto. Se eu entendo a construção, é definido positivamente pela mesma razão que é. QLDLT23n313n312IQJQ
hardmath

@Jernej: Se você acredita que algo que afirmei está incorreto, criei uma sala de bate-papo com base nessa pergunta, na qual a discussão pode ser encadeada sem comentários desnecessários aqui.
hardmath

1

Se você possui uma maneira estruturada de enumerar os gráficos dos quais deseja calcular os determinantes, talvez seja possível encontrar atualizações de baixa classificação que o transferem de um gráfico para outro.

Nesse caso, você poderia usar o lema determinante da matriz para calcular de forma barata o determinante do gráfico subsequente a ser enumerado usando seu conhecimento do determinante do gráfico atual.

Ou seja, para uma matriz e vetores : Isso pode ser generalizado se U e V forem matrizes e é : Au,v

det(A+uvT)=(1+vTA1u)det(A)
n×mAn×n
det(A+UVT)=det(Im+VTA1U)det(A)

Para calcular com eficiência o inverso, você pode usar a fórmula de Sherman-Morrison para obter o inverso da matriz subsequente da matriz atual:

(A+uvT)1=A1A1uvTA11+vTA1u

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