Um processo estocástico é um processo que evolui com o tempo, então é realmente uma maneira mais extravagante de dizer "séries temporais"?

Como muitas discrepâncias preocupantes estão aparecendo em comentários e respostas, vamos nos referir a algumas autoridades.

James Hamilton nem mesmo define uma série temporal, mas é claro sobre o que é:

... este conjunto de números é apenas um resultado possível do processo estocástico subjacente que gerou os dados. De fato, mesmo se imaginássemos ter observado o processo por um período infinito de tempo, chegando à sequência a sequência infinita faria ainda será visto como uma realização única de um processo de série temporal. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { ... , y - 1 , y 0 , Y 1 , Y 2 , ... , y T , y T + 1 , y T + 2 , ... , } , { y t } ∞ t = $T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Imagine uma bateria de ... computadores gerando seqüências e considere selecionar a observação associada à data de cada sequência: Isso seria descrito como uma amostra das realizações da variável aleatória . ...{ Y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , ... , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ t { y ( 1 ) t , y ( 2 ) t , … , y ( I $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$IY

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Análise de séries temporais , capítulo 3.)

Assim, um "processo de série temporal" é um conjunto de variáveis ​​aleatórias indexadas pelos números inteiros .$\{Y_t\}$$t$

Nas Equações Diferenciais Estocásticas, Bernt Øksendal fornece uma definição matemática padrão de um processo estocástico geral:

Definição 2.1.4. Um processo estocástico é uma coleção parametrizada de variáveis ​​aleatórias definida em um espaço de probabilidade e assumindo valores em . ( Ω , F , P ) R

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

O espaço de parâmetro é geralmente (como neste livro) a linha do meio , mas também pode ser um intervalo , números inteiros não negativos e até subconjuntos de para .[ 0 , ∞ ) [ a , b ] R n n ≥ $T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Juntando os dois, vemos que um processo de série temporal é um processo estocástico indexado por números inteiros.

Algumas pessoas usam "séries temporais" para se referir à realização de um processo de séries temporais (como no artigo da Wikipedia ). Podemos ver na linguagem de Hamilton um esforço razoável para distinguir o processo da realização pelo uso de "processo de séries temporais", para que ele possa usar "séries temporais" para se referir a realizações (ou mesmo dados).

$\left\{X_t\right\}$

Definindo um processo estocástico

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Definindo uma série temporal

Enquanto um processo estocástico tem uma definição matemática clara como cristal. Uma série temporal é uma noção menos precisa, e as pessoas usam séries temporais para se referir a dois objetos relacionados, mas diferentes:

1. Como o WHuber descreve, um processo estocástico indexado por números inteiros ou alguma unidade de tempo incremental regular que pode, de certo modo, ser mapeado para números inteiros (por exemplo, dados mensais).
2. Uma coleção de dados observados em intervalos regulares. Isso pode ser a realização de um processo estocástico indexado por números inteiros. Às vezes, isso é chamado de dados de séries temporais.

Exemplo: dois lançamentos de uma tacha

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

A diferença entre um processo estocástico e uma série temporal é semelhante à diferença entre um gato no teclado e uma resposta no Stack Exchange: Gatos nos teclados podem produzir respostas, mas gatos nos teclados não são respostas. Além disso, nem toda resposta é produzida por um gato em um teclado.

Uma série temporal pode ser entendida como uma coleção de pares tempo-valor-ponto de dados. Um processo estocástico, por outro lado, é um modelo matemático ou uma descrição matemática de uma distribuição de séries temporais¹. Algumas séries temporais são uma realização de processos estocásticos (de qualquer tipo). Ou, de outro ponto de vista: posso usar um processo estocástico como modelo para gerar uma série temporal.

Além disso, séries temporais também podem ser geradas de outras maneiras:

• Eles podem ser o resultado de observações e, portanto, são gerados pela realidade. Embora eu possa modelar a realidade como um processo estocástico (eu também poderia dizer que considero a realidade como um processo estocástico), a realidade não é um processo estocástico da mesma maneira que o interior de uma caixa não é um conjunto de pontos (embora frequentemente (considere os dois equivalentes em contextos de modelagem).

• $x=2$

^{¹ Se for um processo estocástico de tempo discreto. Processo estocástico de tempo contínuo são distribuições de funções em vez de séries temporais.}

Aprecio todas as discussões / comentários contribuídos sobre o assunto Séries temporais versus processo estocástico. Aqui está minha compreensão da diferença: A série temporal é um fenômeno observado, registrado como uma série de números indexados com o tempo em observação; é muito provável que seja uma série de observações de um fenômeno da vida real, como os preços das ações na Bolsa de Nova York. Por outro lado, o processo estocástico é como sempre entendido como uma representação matemática (não uma produção) das séries temporais.