Solução 1 - Atualize o Google Play Services para a versão mais recente. Você pode baixar aqui . Você pode estar recebendo um erro porque possui uma versão muito desatualizada ou está com um conflito / bug com a versão atual do Android no seu telefone.
Solução 2 - Limpe o cache do Google Play Services. O aplicativo Google Play Services no telefone funciona como uma estrutura para todos os aplicativos Google e Google Play instalados no telefone. Você pode tentar limpar seu cache e ver se isso resolveria o problema. Isso funcionou com um dos membros da nossa equipe! Leia estas etapas rápidas e fáceis:
Vá para Configurações> Aplicativos.
Role até Todos os aplicativos e desça até o aplicativo "Google Play Services".
Abra os detalhes do aplicativo e toque no botão "Forçar parada".
Em seguida, toque no botão "Limpar cache".
Solução 3 - Limpe o cache do Google Services Framework. O aplicativo do sistema Google Services Framework no seu dispositivo Android armazena informações e ajuda o telefone a sincronizar com os servidores do Google - e mantém o Google Play Services em funcionamento. Esse pode ser um dos motivos pelos quais você não consegue se conectar aos servidores do Google usando o aplicativo e continua recebendo a mensagem de erro. Leia estas etapas rápidas e fáceis:
Vá para Configurações> Aplicativos.
Role até Todos os aplicativos e desça até o aplicativo "Google Services Framework".
Abra os detalhes do aplicativo e toque no botão "Forçar parada".
Em seguida, toque no botão "Limpar cache".
Solução 4 - Verifique sua conexão com a Internet. Pode ser que sua rede WiFi esteja bloqueando qualquer um dos endereços IP que o Google usa. Você também pode tentar ativar ou desativar o Wi-Fi no telefone - o mesmo com dados móveis.
Solução 5 - Isso é óbvio, mas pode ser que uma simples reinicialização do seu telefone / tablet Android possa resolver o problema.
Solução 6 - Detesto dizer isso, mas no final, você pode instalar uma ROM personalizada, estável e sem bugs.