O K-9 (um cliente de correio gratuito de código aberto e muito seguro) faz exatamente isso.
Na verdade, você pode especificar que determinadas pastas possam aparecer na sua lista principal, apenas determinadas pastas recebem notificações quando as mensagens são recebidas ou apenas determinadas pastas participam do push.
Além disso, você pode especificar essas configurações individualmente, com base nos conceitos de camadas (classes). É como as pastas favoritas de primeira e segunda classe; você pode forçar subpastas a serem exibidas acima da Caixa de entrada principal, por exemplo.
Por exemplo, você pode especificar que uma pasta seja uma pasta de notificação de primeira camada, mas uma pasta de visibilidade de segunda camada. Você também pode especificar a associação da camada push / sync. (Todas essas configurações são independentes e muito controláveis, mas estão a apenas um clique de distância nas configurações de cada pasta.)
Para ir além, você pode definir determinadas pastas a serem notificadas com base no nível da camada de notificação (primeiro, segundo ou nenhum).
Consulte a documentação das pastas K-9 aqui:
https://k9mail.github.io/documentation/settings/folder.html
https://k9mail.github.io/documentation/folders.html
Esta documentação é antiga! Nas versões atuais do K-9, agora também há suporte para as classes de Notificação de Pastas, para que você possa especificar que algumas pastas notifiquem e outras não.
Uma coisa a ter em atenção: no menu principal (menu dos botões), você verá uma entrada chamada "Pastas", que o levará à sua lista de pastas. Não é isso que você quer. Primeiro, selecione uma pasta e, em seguida, enquanto visualiza a lista de mensagens dessa pasta, selecione o botão de menu novamente e escolha Configurações / Pasta; é aí que você faz as configurações de pastas individuais. Acredito que as configurações de notificação para camadas de pastas estão realmente em Configurações / Conta ou Configurações / Global.
Um ótimo recurso que não está implementado no momento seria definir um som de notificação diferente para pastas diferentes.