Você mencionou na sua pergunta que não deseja comprar nenhum conector adicional. Alguma razão em particular? Você não está disposto a gastar dinheiro? A resolução não será o problema, é a latência.
Se você é absolutamente adverso ao pagamento, tente executar um servidor VNC no seu telefone e conecte-o usando um programa visualizador VNC no seu computador. A Revista Laptop tem uma explicação muito boa aqui: Como controlar um dispositivo Android a partir do seu PC . Eles fazem referência ao VMLite VNC Server, que custa US $ 9,99, mas você pode encontrar outros programas de servidor VNC que são gratuitos (embora vários não pareçam muito confiáveis, IMO). Você está recebendo o que paga, no entanto; uma solução sem fio barata significa atraso na entrada. Seus jogos serão muito difíceis de jogar e a experiência será geralmente ruim.
Se você puder gerenciar alguns dólares, um adaptador Micro USB para HDMI MHL (com adaptador Micro USB de 5 pinos a 11 pinos para o seu S4 - não deixe de ler as letras miúdas!), Conforme mencionado na resposta da gt7599a, é o caminho a seguir. US $ 15 (ish) mais um cabo HDMI fornece uma solução com fio com latência muito baixa.
Se você deseja algo sem fio, mas também deseja jogar, a melhor opção é um adaptador que aproveite os recursos WiFi Direct / Miracast do S4. Isso significa um hub de transmissão compartilhada WI-FI da Samsung (US $ 55), NETGEAR Push2TV (US $ 60) ou semelhante.
Quanto vale para você?