Como posso fazer com que o navegador de ações pare de perguntar qual navegador eu quero usar?

Eu tenho vários navegadores instalados no meu telefone. Eu não defini nenhum como padrão, porque algumas páginas simplesmente renderizam melhor em alguns navegadores do que em outros.

Quando uso o navegador de ações, toda vez que clico em um link, ele me pergunta qual navegador eu quero usar. Gostaria que ele entendesse que, se eu escolher o navegador de ações para esta sessão atual, ele deverá abrir os links no navegador de ações e parar de me perguntar.

Existe alguma maneira de eu parar o navegador de ações de me perguntar isso sem torná-lo o padrão?

Não. O Android trabalha com intenções. Abrir um link está solicitando a intenção de abrir um URL. Se você possui mais de um navegador e não definiu um padrão, o Android perguntará qual escolher.

Eu posso imaginar certos navegadores que não seguem essa regra de iniciar uma intenção e apenas permanecer em seu próprio programa, mas isso é tudo que o programa decide lidar com isso.

O comportamento padrão do Android não tem opção para isso. Como você mencionou, você sempre terá a pergunta sobre cada inicialização de uma intenção do navegador (ou seja, solicita que o Android abra uma URL em um navegador). A única maneira de impedir isso é selecionar um e configurá-lo como padrão.

Por outro lado, quando você estiver em uma sessão do navegador, o programador do navegador poderá implementar a solicitação de um determinado URL para ser tratado por ele mesmo, em vez de iniciar uma nova intenção do navegador. Isso superaria seu problema.

Se você iniciar um navegador com a intenção de visualizar um URL, terá a opção do Android para selecionar um navegador. E os próximos URLs serão abertos no mesmo navegador. Em outras palavras, isso realmente depende da implementação desse navegador.