Se você tiver mais de uma conta com contatos, verifique se os contatos estão salvos na sua conta do iCoud e não em nenhuma outra (Configurações -> Correio, Contatos, Calendário -> Contatos -> Conta Padrão -> iCloud (ou seja o que for Eu uso o Gmail como conta principal e, portanto, novos contatos não são adicionados ao meu iCloud por padrão.
Se você fez isso e ainda não funciona, remova sua conta do iCloud de suas configurações (Configurações -> Correio, Contatos, Calendário -> iCloud (ou o que quer que você tenha nomeado) -> Excluir conta). Reinicie seu telefone, adicione-o novamente e reinicie-o novamente. Seus contatos, anotações, eventos etc. NÃO serão excluídos da sua conta do iCloud, mas quaisquer dados NÃO sincronizados SERÃO (não afetam outra conta, é claro)!
Edit: 18/01/2017 ~ Com o advento de todos os aplicativos ricos em recursos do seu telefone, é provável que você descubra que outros aplicativos, além dos configurados para Contatos, têm acesso para adicionar / modificar seus contatos, como o Facebook. É por isso que às vezes a mesma pessoa aparece várias vezes no telefone, e não no computador ou em outros dispositivos.