Respostas:
Você não menciona qual AppleTV você possui, então vou assumir que é o modelo atualmente disponível, ou pelo menos a geração , porque é provavelmente mais provável e mais fácil de responder :)
A resposta é que você não pode mover coisas para o AppleTV, é uma solução apenas de streaming. Embora tenha uma pequena quantidade de armazenamento interno (acho que 4Gb para a 1ª versão do modelo de 2ª geração que possuo), isso é usado para armazenar em buffer, particularmente para locações de filmes do iTunes etc.
Portanto, simplesmente visualizar, em vez de mover, o conteúdo armazenado no seu Mac Mini, ou qualquer outro dispositivo, é garantir que ele possa ser reproduzido em um player que ofereça a chance de usar o AirPlay para transmitir o conteúdo sem fio. Você precisará estar na mesma LAN que a AppleTV para ver o dispositivo, mas supondo que esteja, você deve simplesmente vê-lo como uma fonte de saída quando clicar no símbolo do AirPlay no player.
Sua Apple TV não possui armazenamento significativo; é um dispositivo somente de transmissão. Além do YouTube, você não mencionou o conteúdo que está tentando "mover", o que eu acho que você quer dizer com "visualizar". Você deseja visualizar o conteúdo na Apple TV, independentemente de estar no seu telefone ou no seu mini.
Você tem três opções, supondo que seus três dispositivos estejam na mesma rede:
Desfrutar!