http://appleid.apple.com/ é o local correto.
Já faz um tempo desde que eu fiz isso, mas pelo que me lembro, você precisará excluí-lo como o email secundário e editar o principal.
Além disso, é mais fácil se você desativar o FindMyiPhone no dispositivo antes de iniciar esse processo. Depois que todas as alterações forem feitas e você estiver conectado novamente ao iCloud no dispositivo usando o novo appleid, certifique-se de ativar o FindMyiPhone novamente. (O FindMyiPhone é um recurso de segurança e um dos seus objetivos é dificultar o logout de alguém sem os detalhes da appleId. Alterar o seu appleId pode confundir os recursos necessários, a solução é desativá-lo durante esse processo.)
Lembre-se também de que, depois de fazer a alteração no appleid.apple.com, há vários lugares nas configurações do telefone para efetuar logout e efetuar login novamente com o novo: iCloud, iTunes e App Store, facetime, mensagens, Game Center e e-mail provável precisa de alterações na configuração.
Editar (com base no comentário do OP abaixo): A Apple declara que "Se o seu endereço de e-mail terminar com @ icloud.com, @ me.com ou @ mac.com, já é um ID da Apple". Portanto, não será possível fazer com que este appleid tenha um endereço de email principal diferente. Se você quiser um appleid usando o endereço do seu filho, não @ icloud.com, precisará criá-lo. Para que isso aconteça, talvez seja necessário excluí-lo como secundário nesta conta. Não há lógica em nenhum botão de edição exibido para o primário. Se você diferenciou este appleid, como o endereço @icloud ainda pode ser um appleid?