Você precisará de uma unidade de recuperação USB ou instalar o CD.
A boa notícia é que, como o disco rígido antigo está funcionando bem e configurado como externo, você pode inicializar a partir disso: Mantenha pressionada a tecla "Opção" na inicialização até ver a unidade. Se você vir uma "Partição de recuperação" aqui, selecione isso. Pode ser necessário ingressar novamente na sua rede Wi-Fi aqui.
Nota: É altamente recomendável conectar um cabo Ethernet ao seu roteador aqui. O instalador para download do Mac OS X é um arquivo grande. Clique em "Instalar Mac OS X", selecione seu novo disco rígido interno e siga as instruções.
Se você não viu uma partição de recuperação, prossiga para a próxima etapa.
Se você não viu uma partição de recuperação, precisará de um pen drive USB de pelo menos 2 GB para uma instalação do Internet Recovery e ou 16 GB para instalação direta. Selecione seu disco rígido antigo para continuar inicializando.
A partir daí, você poderá seguir este tutorial sobre como criar uma unidade de recuperação USB:
http://osxdaily.com/2014/10/16/make-os-x-yosemite-boot-install-drive/
A instalação do OS X deve ser formatada automaticamente, mas para garantir uma instalação limpa e boa: Vá para o Utilitário de Disco e selecione o novo HDD no campo esquerdo. Deve ser rotulado como "Sem título". Clique na guia "Apagar" e, em "Formato:", selecione "Mac OS Extended (Journaled). Para" Nome: ", use o que quiser.
Clique no botão "Apagar" e o disco será formatado. Saia dos Utilitários de disco, que o levará de volta a "Instalar Mac OS X" ou "Reinstalar nova cópia do OS X". Clique e siga as instruções. Agora tudo que você precisa fazer é esperar!
Algumas notas:
A restauração do Time Machine funciona apenas se você tiver um Time Machine configurado, o Disk First Aid é para reparar uma unidade já formatada e o Get Help explica os recursos disponíveis.
Lembre-se de que você pode reiniciar no Modo de Recuperação e executar Utilitários de Disco, pois isso poupará tempo no futuro se o seu Mac começar a agir de forma irregular.