Fiz um backup (não restauro) do iPad e agora minhas mensagens enviadas do iPad não aparecem no iPhone - também as mensagens enviadas do iPad são exibidas como meu e-mail e não meu telefone #
Verifique as configurações de mensagens. Está em Configurações> Mensagens. Em Enviar e receber, há as opções para escolher como você pode ser contatado e como iniciar novas conversas.