[atualização 2016-09-02] no iOS 9.3.5, você pode simplesmente puxar a lista de contatos para forçar uma sincronização.
Se isso não funcionar, verifique se o problema está na sincronização e não nos dados que o iOS "vê" nos contatos do Google, testando em um contato separado. Por exemplo, tive um problema (no iOS 10.2) em que o número de telefone não era sincronizado porque estava em um campo incorreto do contato do Google.
Nas versões anteriores do iOS, costumava haver um botão de sincronização no canto superior esquerdo do aplicativo Contatos, agora parece que acabou (embora alguns afirmem que pode reaparecer em determinadas circunstâncias ). Também costumava haver uma maneira de forçar a sincronização puxando para baixo no aplicativo Contatos -> exibição Grupos, mas também não funciona para mim (e para outros) no iOS 9.1. Este tópico discussões.apple.com é útil para ver a evolução desse recurso.
Felizmente, há outro segmento com uma coleção de soluções estranhas para forçar uma sincronização sem ativar / desativar a sincronização de contatos ou reiniciar o dispositivo. As duas maneiras a seguir trabalharam para forçar a sincronização com os contatos do Google no iOS 9.1: