Também tenho esse problema (2012 Mac executando o El Capitan 10.11.5). Eu fiz não tem esse problema no meu 2007 Mac Mini rodando 10.6.8 com uma configuração semelhante (excepto o uso de DVI em vez de HDMI). Quando fecho o compartilhamento de tela do Mac ou o TouchPad no iOS, alterno os aplicativos para iOS ou bloqueio o telefone, o Mac Mini desativa o vídeo externo.
A solução alternativa que encontrei é: Pressione pausar / reproduzir no Apple Remote (o controle remoto infravermelho físico - não um aplicativo) depois de iniciar o vídeo, antes de fechar o compartilhamento de tela. Então, você poderá fechar o compartilhamento de tela e a tela permanecerá ligada. Também fiz isso com o mouse Bluetooth da Apple e também funciona.
Você também pode fazer isso ativando o Mac Mini com o controle remoto antes de iniciar o compartilhamento de tela, se você se lembra. No entanto, é irritante, pois costuma abrir e começar a tocar o iTunes.
O Mac parece precisar de alguma entrada de um dispositivo físico (mouse ou controle remoto) depois de acordar, para impedir que a tela volte a dormir.
Indo tentar a caixa de seleção Gerenciamento Remoto também para ver se isso ajuda.