Que eu saiba, tecnicamente não existe uma maneira de especificamente e apenas desativar o som do obturador da câmera para capturas de tela, mas ainda existem soluções para impedi-lo de emitir o som:
Uma coisa que você pode fazer é girar a chave de mudo no lado do dispositivo para silenciar (silencioso / vibrar). Você verá um ícone Ringer Silent na tela e poderá sentir uma vibração no iPhone. Depois disso, não haverá ruído na captura de tela (entre outras coisas).
Em um iPhone, se você não deseja obter a vibração ao desligar o telefone ou se deseja deixá-lo em silêncio sem vibrações, acesse Configurações> Som e alterne "Vibrar em silêncio" fora. Então não vai vibrar ou fazer barulho. No entanto, você também não ouvirá nenhum som ou vibração de notificação; portanto, corre o risco de perder alguns alertas. Portanto, nesse caso, o que você pode querer fazer é alternar o modo silencioso para o silencioso antes de fazer uma captura de tela (e isso não fará barulho devido à vibração) e depois da captura de tela, volte ao normal.
Outra alternativa, se você não se importa com o som do obturador da câmera, mas quer apenas mais silencioso, é que em Configurações> Sons você pode deslizar a campainha e os alertas para o mínimo. Ainda emitirá sons, apenas em silêncio. Mas, novamente, você corre o risco de perder o telefone tocando em algumas situações, pois ficará silencioso.
Editar: notei que no iOS 10.3, quando você alterna o botão mudo enquanto a câmera está aberta, ela não produz vibrações. Assim, você pode alternar entre silenciar antes de tirar a foto e voltar ao normal quando terminar.