Se forem iMessages, você poderá fazê-lo via iCloud. Para mensagens SMS ou se for pelo WhatsApp ou outro mensageiro instantâneo, você poderá ter muito mais dificuldade.
A maioria dos serviços decentes para mensagens oferece criptografia de ponta a ponta; portanto, seria praticamente impossível agir como intermediário, como você descreve.
Você pode ligar para o seu provedor de serviços e perguntar se eles têm algum serviço para esse tipo de coisa, mas lembre-se: se você pode fazer isso no telefone do seu filho, como você sabe que hackers mal-intencionados não poderiam fazer isso? o mesmo para você.
Esse tipo de privacidade e segurança é um tópico bastante interessante no momento, então acho que seria assustador se houvesse uma maneira fácil de realizar o que você está tentando.