Durante grande parte da minha vida desinformada, duvidei da existência de gravitons ou mesmo que a gravidade é uma "força" real (como o eletromagnetismo). Isso ocorre porque minha visão da relatividade geral era que a massa curva o espaço de modo que os objetos ainda estejam viajando em uma "linha reta" ao serem acionados pela "gravidade", de modo que nenhuma "força" seja necessária. Agora eu sei que essa é uma visão ingênua, mas não tenho 100% de certeza do porquê. Outro dia, eu estava pensando que apenas o fato de a gravidade seguir uma lei do quadrado inverso implica que é uma força transportada por partículas (caindo na intensidade do fluxo devido à geometria do espaço 3D).

Minha pergunta seria: o fato de a gravidade seguir uma lei do quadrado inverso naturalmente cai fora das equações da relatividade geral ou é uma suposição usada ao desenvolver as equações?

E, agora, eu pensava que outras forças também poderiam curvar o espaço (apenas em dimensões mais altas).

Durante grande parte da minha vida desinformada, duvidei da existência de gravitons ou mesmo que a gravidade é uma "força" real (como o eletromagnetismo).

A gravidade é uma força como o eletromagnetismo, mas possui uma propriedade especial, pois todas as partículas de teste caem da mesma maneira em um campo gravitacional, independentemente da sua composição. Isso significa que as massas inerciais e as massas gravitacionais são as mesmas (ou pelo menos universalmente proporcionais, para que possamos usar unidades nas quais elas são iguais), e somos livres para interpretar a queda livre gravitacional como movimento inercial.

Em termos da teoria quântica de campos, é realmente um teorema de que, com baixas energias, as partículas spin-2 sem massa devem acoplar todos os momentos energéticos igualmente, independentemente das espécies de partículas. Em outras palavras, o princípio da equivalência da relatividade geral é um teorema comprovável para os gravitons.

Por outro lado, também podemos interpretar a relatividade geral como um campo spin-2 sem massa em um espaço-tempo plano de fundo, mas, devido a essa universalidade, o plano de fundo será inobservável em qualquer experimento. É por isso que os relativistas não costumam fazer isso, pois torna a interpretação geométrica mais conveniente.

Infelizmente, a relatividade geral quantizada é muito mal comportada se alguém tentar levá-los a escalas de energia arbitrariamente. Fisicamente, isso significa que alguma nova física deve surgir antes disso para corrigi-la. No entanto, esse tipo de situação dificilmente é exclusivo da gravidade, quantizando o que ainda faz sentido como uma teoria de campo eficaz em energias mais baixas; cf. revisão viva por Cliff P. Burgess . A tensão entre a relatividade geral e a mecânica quântica é freqüentemente exagerada nas descrições populares.

Minha pergunta seria: o fato de a gravidade seguir uma lei do quadrado inverso naturalmente cai fora das equações da relatividade geral ou é uma suposição usada ao desenvolver as equações?

A parte do quadrado inverso cai sozinha, mas a constante específica de proporcionalidade precisa de uma suposição adicional.

Se considerarmos uma equação geral de campo , onde é o tensor de tensão e energia que é assumido como simétrico e conservado de maneira covariável, e então o tensor de Einstein é a solução invariável de escala exclusiva que pode ser construída a partir da métrica. Esse requisito significa que apenas termos de segunda ordem em derivadas da métrica são permitidos e são quebrados por, por exemplo, o termo constante cosmológico , pois isso introduz um comprimento na teoria.$G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$$T_{\mu\nu}$$G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$$\Lambda g_{\mu\nu}$$\Lambda^{-1/2}\sim 10^{10}\,\mathrm{ly}$

Existem outras maneiras de desenvolver a equação de campo de Einstein, por exemplo, através da ação de Einstein-Hilbert, que não precisa de suposições específicas sobre o tensor energia-estresse. Independentemente, o papel do limite newtoniano é fixar o valor da constante indeterminada . Se você está interessado apenas em uma relação de quadrado inverso do tipo Newton, isso por si só não precisa de nenhuma suposição adicional sobre a tentativa de combinar a gravidade newtoniana.$\kappa = 8\pi G/c^4$

Dado um campo vetorial timelike , que pode ser interpretado como as quatro velocidades de uma família de observadores, podemos escrever a projeção no tempo e no tempo de uma forma equivalente da equação do campo de Einstein, , como onde é a densidade de energia é a média das principais tensões, medida por um observador com quatro velocidades . Para matéria não relativística, os termos de estresse são insignificantes em comparação com a densidade de energia.$u$$R_{\mu\nu} = \kappa(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T)$

$$R_{00} \equiv R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = \frac{1}{2}\kappa(\rho+3p)\text{,}$$ $\rho$$p$$u$

A maneira como o limite newtoniano é discutido é usar a aproximação de campo fraco, com , para mostrar que que então tem a forma da equação de Poisson para o potencial gravitacional newtoniano em termos de densidade da matéria , isto é, . Para partículas de teste de movimento lento, a equação geodésica reduz ao Newtoni uma equação de movimento: $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$|h_{\mu\nu}|\ll 1$

$$\frac{1}{2}\kappa\rho\approx R_{00} = R^\alpha{}_{0\alpha 0}\approx\partial_\alpha\Gamma^{\alpha}_{00}\approx-\frac{1}{2}\nabla^2h_{00}\text{,}$$ $\rho_\text{m}$$\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho_\text{m}$ $$\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{x}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{1}{2}\nabla h_{00} = -\nabla\Phi\text{.}$$ Outra maneira de pensar sobre isso é anotar o tempo adequado das partículas em queda livre e mostrar que sua extração equivale a , que é a ação de ação (por massa) de uma partícula sujeita à gravidade newtoniana sempre que .$\int\left(\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{2}h_{00}\right)\mathrm{d}t$$h_{00} \approx -2\Phi/c^2$

Você pode estar interessado nesta derivação mais simples da lei da gravitação de Newton em torno de um corpo esférico simétrico, com base na interpretação geométrica da curvatura de Ricci como a aceleração do volume de uma pequena bola de partículas de teste inicialmente emoventes.

E, agora, eu pensava que outras forças também poderiam curvar o espaço (apenas em dimensões mais altas).

Isso foi feito para o eletromagnetismo por Kaluza e Klein logo após a GTR, mas acontece que não é uma maneira diretamente útil de pensar em outras forças.

Em vez disso, podemos pensar na curvatura de Riemann na relatividade geral como a forma de curvatura da conexão Levi-Civita no feixe tangente de um determinado coletor, com o grupo de estrutura . Mas nesta linguagem, a força do campo eletromagnético é a curvatura da conexão, ou seja, sobre um feixe de linhas com o grupo de estruturas . As outras forças não-gravitacionais são descritas de maneira semelhante pela teoria de Yang-Mills .$\mathrm{O}(1,n)$$ieA_\mu$$\mathrm{U}(1)$

Em outras palavras, as outras forças já têm uma descrição na qual são causadas por uma curvatura, mas não no espaço-tempo. Portanto, embora a gravidade seja diferente deles, não é diferente o suficiente para considerá-la, em certo sentido, 'menos real' do que as outras.

A gravidade é uma força fictícia , na verdade, muito parecida com a força centrífuga. Em um quadro de referência em queda livre, ele desaparece. Na relatividade geral (GR), a gravidade é apenas um resultado da geometria (diferencial): curvatura espaço-tempo. A lei do quadrado inverso é apenas a aproximação de baixa energia, mas a equação real para a gravidade derivada do GR é mais complexa do que isso. O enorme sucesso da gravidade newtoniana nos diz que qualquer modelo de gravidade deve ser aproximado pela lei clássica do quadrado inverso a baixas energias.

Se a GR faz isso pelo design de (Einstein) ou outra coisa é uma questão de opinião pessoal. Einstein definitivamente sabia que tinha que obter aproximadamente a gravidade newtoniana com baixas energias, para que ele descartasse ou modificasse qualquer idéia que falhasse nesse critério. No entanto, existem argumentos padrão para explicar por que a gravidade deve obedecer a uma lei do quadrado inverso , pelo menos em situações de baixa energia.

Agora em GR muito mais do que apenas massa contribui para o campo gravitacional . Rotação e carga elétrica, por exemplo, e muito importante: energia (o famoso nos diz como expressar uma massa como energia, para que possamos tratar essas coisas em pé de igualdade). Então, sim, todas as forças e partículas contribuem para a gravidade. Até fótons .$E=mc^2$

O próprio GR não faz previsões (ou requisitos) para a existência de novas partículas fora do modelo padrão, como os gravitons. GR e mecânica quântica (QM) são notoriamente incompatíveis: em situações extremas em que tanto GR e QM são relevantes (estrelas de nêutrons e formação de buracos negros, por exemplo), elas param de fazer sentido rapidamente. Especialmente GR. "Gravitons" e variações variadas são partículas hipotéticas propostas para resolver esse problema criando uma teoria quântica da gravidade. A única "evidência" que temos para eles nesse estágio é que nossas duas teorias de maior sucesso sobre o funcionamento do universo, GR e QM, são tão dolorosamente incompatíveis. Portanto, sabemos que essas teorias são falhas (ou seja, erradas) e que é necessária alguma outra teoria que possa lidar com essas situações, além de incorporar todos os sucessos de QM e GR - eles são incrivelmente precisos quando apenas uma é particularmente relevante, depois de tudo.

Exatamente o que essa teoria é é uma área de pesquisa contínua e substancial.

Primeiro, o fato de a gravidade cair é visível na métrica.$1/r^2$

A métrica descreve a curvatura do espaço. Para espaço em torno de um objeto maciço, esta é a métrica de Schwarzchild

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \ \mathrm{d}\phi^2)$$

Claramente, se parece$r \gg r_s$

$$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}r^2+r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \ \mathrm{d}\phi^2)$$ que é a métrica para espaço plano. Tão efetivamente o espaço fica mais e mais plano a uma taxa de , que é o quadrado inverso que você está procurando.$1/r^2$

Mas de onde vem a métrica Schwarzchild? Sem entrar na matemática, pode-se provar que é a métrica única que possui simetria esférica, sem a qual nada faria muito sentido. Isso é chamado de teorema de Birkhoff.

A pequena reflexão tardia da sua pergunta leva um pouco mais de atenção

Quero falar sobre a origem dos gravitons, mas primeiro vamos falar sobre a curvatura.

Se você deseja medir a curvatura de um espaço, uma maneira de fazer isso é mover-se em um loop fechado, terminando de volta onde você começou. Se o espaço for curvado, você não estará na mesma direção (essa ideia é chamada de transporte paralelo)

Digamos que estamos transportando paralelamente um vetor tangente, como na figura. Nós obtemos um vetor tangente da derivada em um ponto (uma derivada ligeiramente especial chamada derivada covariante, porque o espaço é curvo). Vamos pegar o vetor tangente e avançar para a esquerda. E tentamos novamente desta vez, movendo-se para a esquerda e para a frente. Acabamos no mesmo ponto nos dois sentidos, mas, como na imagem, os derivativos serão diferentes de alguma maneira. Resumimos isso com um comutador (onde é o derivado covariante) como$D$

$$[D_\mu,D_\nu] = D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu\neq 0$$ Significa basicamente "fazer de um jeito não é o mesmo que fazer do outro".

Agora vamos recuar um pouco e falar sobre como o eletromagnetismo e outras forças são normalmente discutidos, usando a teoria quântica de campos.

Descrevemos a teoria em termos de um Lagrangiano, para um férmion (como um elétron) parece com isso

$$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi$$

Se eu pegar o campo e transformá-lo , o lagrangiano permanecerá inalterado. Esse tipo de transformação pertence a um grupo chamado . Dizemos que o lagrangiano possui simetria em . Percebe que esse está lá de novo? É a mesma coisa, um derivado covariante, aqui também no QED. Podemos tentar pegar um comutador novamente$\psi$

$$\psi\to\psi'=e^{i\xi(x)}\psi$$ $U(1)$$U(1)$$D_\mu$

$$[D_\mu,D_\nu] = -iF_{\mu\nu}\psi$$ que $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$

A partir disso, formamos o QED completo (a teoria quântica da eletrodinâmica) Lagrangiana

$$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Não fique atolado na matemática. O ponto é muito simples. Veja o ? É um campo novo, tivemos que apresentá-lo para fazer as coisas funcionarem. No QED, este campo corresponde a um fóton (as partículas são quanta de um campo, como uma pequena saliência no campo). Tivemos que apresentá-lo porque tínhamos curvatura . Como sei que temos curvatura? Porque os derivados covariantes não se comutam , como em GR, acima. Desta vez, porém, a curvatura não é do espaço físico, é de um objeto abstrato chamado de feixe de calibre . U ( 1 $A_\mu$$U(1)$

Então você está totalmente no caminho certo quando diz que outras forças podem curvar o espaço. É bom que a gravidade curva o espaço-tempo, é muito físico e fácil de imaginar, pois as outras forças não são tão simples de imaginar, embora sejam fundamentalmente as mesmas.

Enfim, de volta ao GR

Se você deseja ter uma visão completa da gravidade de Einstein, faça algumas contas e chegue a algo chamado ação de Einstein-Hilbert (uma ação é apenas uma parte integrante de um Lagrangiano), um objeto arrumado que resume toda a teoria

$$S=\int R \sqrt{g} \ \mathrm{d}^4x$$ onde vem (mais ou menos) do comutador de derivadas covariantes que vimos no topo. Ao falar sobre o QED, reparei no fato de que é uma teoria quântica (é). Essa ação de EH, no entanto, não descreve uma teoria quântica. Então, você pode dizer, vamos torná-lo um! Espere um segundo, porém, porque na verdade não funciona. O problema é algo chamado renormalisability - QED é renormalisable, GR não é. Essa é a raiz da incompatibilidade entre GR e a teoria quântica de campos. Se pudéssemos realizar a partícula resultante do qunatum, seria um graviton. Você está certo em duvidar da existência deles, pois eles ainda não foram observados ...$R$

Duas versões da mesma coisa

Vimos o QED, que descreve partículas de luz, fótons. Eles são quantizados. Então vimos como, de muitas maneiras, GR e QED são muito semelhantes. Não podemos quantizar adequadamente a GR, mas, se pudéssemos, teríamos gravitons, exatamente como os fótons surgidos no QED. A dualidade entre QED (e outras teorias de gauge, QCD, etc) é clara, o que leva muitas pessoas a acreditar que provavelmente deveriam ter gravitons, mesmo que ainda não tenham sido observados, nem formulados de forma consistente.

Uma nota sobre outras teorias

Existem muitas teorias em que os gravitons estão presentes desde os primeiros princípios, sem os problemas de renormalidade, teoria das cordas ou supergravidade, por exemplo.

Uma observação sobre os erros acima

Desculpe, estou cansado e divagando. Por favor, aponte-os se você os encontrar!