Como sei, matematicamente, e não por observação, se a lua está cheia?

Eu sei sobre as equações para descrever a órbita de uma lua ao redor de um planeta. Conheço o eixo semi-principal e a excentricidade da lua, e o mesmo para o mundo hospedeiro com a estrela que orbitam.

Existe alguma equação que me diga quanto da lua é iluminada à noite e, possivelmente, quão brilhante, como é vista no planeta?

As fases da Lua podem ser definidas pelo ângulo de fase entre o Sol, a Lua e a Terra; por exemplo, a 0 °, a Lua é definida como cheia e a 180 ° é definida como nova. Se você quiser saber o quão brilhante a Lua está em um determinado ângulo, usaríamos o ângulo de fase para encontrar as magnitudes aparentes e absolutas da Lua.

Magnitude absoluta, quando se refere a objetos iluminados (objetos que não produzem sua própria luz visível), significa simplesmente sua magnitude aparente se vista a 1 AU de distância. Isso significa que é quase totalmente dependente do ângulo de fase do objeto. Agora, você está perguntando sobre o quão brilhante a Lua pareceria para uma pessoa na Terra, portanto, encontraremos a magnitude aparente. A fórmula para encontrar a magnitude aparente de um objeto iluminado (no Sistema Solar), se soubermos sua magnitude absoluta , é:$H$

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

Onde é 1 AU, é o ângulo da fase (em radianos) é a integral da fase (integração da luz refletida). é a distância entre o observador e o corpo, é a distância entre o Sol e o corpo, e é a distância entre o observador e o Sol. Essa fórmula provavelmente parece bastante assustadora, mas pode ser simplificada com algumas aproximações. Primeiro, podemos aproximar a integral de fase da seguinte forma: Onde$d_0$$\chi$$p(\chi)$$d_{BO}$$d_{BS}$$d_{OS}$

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ $\chi$é o ângulo de fase, em radianos. No caso da Lua, podemos definir (esta é a magnitude absoluta durante a lua cheia), AU e AU. Agora temos a fórmula:$H_{Moon} = +0.25$$d_{OS} = d_{BS} = 1$$d_{BO} = 0.00257$

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

Então, agora, temos uma fórmula que se aproxima da magnitude aparente da Lua em qualquer ângulo de fase. No entanto, mesmo que isso dê uma aproximação aproximada, não é 100% preciso. Os astrônomos usam relacionamentos empiricamente derivados para prever magnitudes aparentes quando a precisão é necessária.

Aqui está um script rápido que escrevi para calcular a magnitude aparente, considerando qualquer ângulo de fase: https://jsfiddle.net/fNPvf/33429/

Aqui está uma abordagem prática - o algoritmo e as equações são empacotados como uma biblioteca de software.

Instale o PyEphem:

http://rhodesmill.org/pyephem/

Executá-lo:

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

'fase' está entre 0 (lua nova) e 100 (lua cheia).

Mais detalhes:

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html