Eu postei uma resposta para isso no Physics SE recentemente, mas também tive uma consulta sobre isso de outra resposta do Astronomy SE , por isso estou adicionando isso aqui para completar.
Você pode aproximar o plano da galáxia como um disco composto de estrelas e gás, com uma densidade , que diminui com a distância absolutado avião.| z |ρ(|z|)|z|
Se então assumir que o Sol está próximo o suficiente para e que a variação radial em foi desprezível o suficiente para tratar o disco como um plano infinito (isso não é ruim, a amplitude do movimento do Sol é apenas cerca de 10% da o comprimento da escala radial da densidade do disco), então você pode construir um pequeno cilindro através do plano, com uma face em , onde , e usar a lei de Gauss para a gravidade para estimar a aceleração gravitacional na altura .
ρ z = 0 g = 0 z g ( z ) ≃ - 4 π G ∫ z 0 ρ ( z ) d zz=0ρz=0g=0z
g(z)≃−4πG∫z0ρ(z) dz
Isso efetivamente decompõe a órbita do Sol em uma órbita radial / tangencial mais um movimento vertical, que trato aqui.
Agora aproxima de uma função decaída exponencialmente com uma altura de escala de talvez 200-300 pc. Se estivermos mais próximos de que isso, então a densidade é aproximadamente uma constante . Colocando isso na equação acima, vemos que
Mas este é apenas um movimento harmônico simples com uma frequência angular .z = 0 ρ 0 g ( z ) = - 4 π G ρ 0 z . √ρ(z)z=0ρ0
g(z)=−4πGρ0z.
4πGρ0−−−−−√
A densidade do disco próximo ao Sol foi estimada em 0,076 massa solar por parsec cúbico ( Creze et al. 1998 ). Usando esse valor, obtemos um período de oscilação previsto aproximado para cima e para baixo no plano do disco de 95 milhões de anos. Isso é bem próximo do valor aceito de 70 milhões de anos, considerando as aproximações que foram feitas.
No contexto da pergunta que você faz, devo acrescentar que a densidade de massa que cito acima é na verdade derivada das posições e movimentos das estrelas na vizinhança solar. Como o artigo que referenciei discute, o valor que eles obtêm se aproxima do valor obtido pela contagem de estrelas e pela adição de contribuições de gás e poeira. Na verdade, existem poucas evidências de matéria escura no disco a partir dessas medidas.
Esse resultado é totalmente consistente com a idéia de uma distribuição de matéria escura que é 10x a massa visível, mas aproximadamente esférica simétrica, e que é responsável pela curva de rotação da Via Láctea. Muito desta matéria escura não está no disco.
Finalmente, a imagem não está certa. O Sol completa apenas cerca de 3 oscilações verticais para cada órbita ao redor do centro galáctico.