Esta é mais uma pergunta para a pilha de Física, mas vou tentar, já que é bastante básico.
Você precisa entender alguma coisa antes de começarmos. O arcabouço teórico que precisamos avaliar e responder a esse tipo de coisa é chamado Relatividade Geral, proposto por Einstein em 1915. Ele descreve coisas como gravidade, buracos negros ou praticamente qualquer fenômeno em que grandes densidades de massa ou energia estão envolvidas .
Há outro capítulo em Física chamado Mecânica Quântica. Isso descreve, geralmente, o que acontece em escalas muito pequenas - coisas super pequenas.
Tanto o GR quanto o QM estão bem à sua maneira. Ambos são testados contra a realidade e funcionam muito bem. Mas eles não são compatíveis um com o outro. Significado: você não pode descrever um fenômeno de uma perspectiva de GR e de QM, ambos de uma vez. Ou significado: não temos um conjunto coerente de equações que poderíamos escrever e, em seguida, "extraímos" delas uma visão da realidade do tipo GR ou uma visão do QM.
O problema é que o centro de um buraco negro é uma densidade de massa muito alta e uma gravidade muito alta (e, portanto, exatamente no campo da GR), e muito pequena (e, portanto, "do tipo quântico"). Para lidar adequadamente, teríamos que reconciliar GR e QM e trabalhar com os dois ao mesmo tempo. Isso não é possível com a física atual.
Por enquanto, temos que nos ater ao GR apenas quando falamos de buracos negros. Basicamente, isso significa que qualquer coisa que dizemos sobre o centro de um buraco negro provavelmente está incompleta e sujeita a revisões adicionais.
Uma estrela morre, cai em um buraco negro, o que está no centro? A massa da estrela se compactou no tamanho do comprimento da prancha ou em algo similarmente pequeno? Não há realmente nada no centro de um buraco negro? Certamente, o núcleo desmoronou em algo, muito pequeno, certo?
De acordo com a General Relativity, ela cai em nada. Não apenas "muito pequeno", mas cada vez menor até ter exatamente zero tamanho. A densidade se torna infinita.
Você não pode dizer "Comprimento da prancha" porque, lembre-se, não podemos combinar GR e QM, simplesmente não sabemos como. Tudo o que temos aqui é GR, e GR diz que vai até o fim.
É bem possível que a singularidade não seja física, mas apenas matemática - em outras palavras, o que estiver no centro não é, na verdade, de tamanho zero. A mecânica quântica, em particular, seria ofendida por coisas de tamanho zero. Mas não podemos ter certeza, porque nosso conhecimento aqui é incompleto.
Estou usando palavras como "tamanho" (que implica espaço) e "torna-se" (que implica tempo). Mas tanto o espaço quanto o tempo no contexto de um buraco negro são muito seriamente distorcidos. O "devir" de um buraco negro até o ponto de tamanho zero é uma realidade apenas para o infeliz observador que é pego nele. Mas para um observador externo e distante, esse processo é lento e estendido até o infinito (só é concluído após um tempo infinitamente longo). Ambos os observadores estão corretos.
EDITAR:
Então, quando estamos dizendo "densidade é infinita e tamanho é zero na singularidade", essa linguagem se aplica ao infeliz observador sendo arrastado para baixo no meio do colapso inicial da estrela.
Mas, da perspectiva do observador distante, um buraco negro ainda é um pedaço de massa (a estrela original) em um volume diferente de zero (o horizonte de eventos do BH). Para esse observador, a densidade desse objeto é finita e seu tamanho definitivamente não é zero. Nessa perspectiva, qualquer coisa que caia no BH nunca termina de cair, mas diminui cada vez mais.
Ambos os observadores estão corretos. Portanto, lembre-se, quando falo em "densidade infinita", esse é o ponto de vista do observador interno.
O que é uma singularidade? É apenas a distorção do espaço-tempo que o torna assim?
Você obtém uma singularidade sempre que há uma divisão por zero nas equações, ou quando as equações se comportam de algum modo naquele momento. Existem muitos tipos diferentes de singularidades na ciência.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_singularity
No contexto de um buraco negro, o centro é considerado uma singularidade gravitacional, porque sugere-se que densidade e gravidade se tornem infinitas, de acordo com as equações de GR.
GR diz: quando você tem um pedaço de matéria que é grande o suficiente, ele começa a desmoronar-se com tanta força que não há nada para detê-lo. Ele continua caindo e caindo em si mesmo, sem limite algum. Extrapole esse processo, e é fácil ver que o tamanho tende a zero e a densidade tende a um valor infinito.
EDITAR:
Dito de outra maneira - se a densidade se torna grande o suficiente, a gravidade é tão grande, nenhuma outra força é forte o suficiente para resistir a ela. Apenas esmaga todas as barreiras que a matéria levanta para se opor a mais esmagamentos. Esse pedaço de matéria simplesmente se esmaga, sua própria gravidade a une cada vez menor ... e menor ... e assim por diante. De acordo com as teorias atuais, não há nada para detê-lo (o QM pode detê-lo, mas não podemos provar isso, porque não temos a matemática). Por isso, apenas espirala em um ciclo vicioso de gravidade cada vez maior que aumenta a si próprio.
Espaço e tempo são realmente patológicos dentro do horizonte de eventos. Se você já está dentro, não há saída. Isso não é porque você não pode sair rápido o suficiente, mas porque realmente não há saída . Não importa para que lado você está, está olhando para a singularidade central - no espaço e no tempo. Não existe uma trajetória concebível que você possa traçar, a partir do interior do horizonte de eventos, que conduz para fora. Todas as trajetórias apontam para a singularidade. Todos os seus futuros possíveis, se você estiver dentro do horizonte de eventos, terminam na singularidade central.
Então, por que o centro de um buraco negro é chamado de "singularidade"? Como todos os tipos de descontinuidades e divisões por zero saltam das equações, quando você leva a matemática ao limite, tentando descrever o centro de um buraco negro, dentro de um quadro de GR.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_singularity
Falando em geral, os físicos não gostam de singularidades. Na maioria dos casos, isso é uma indicação de que o aparato matemático quebrou e alguns outros cálculos são necessários nesse momento. Ou pode indicar que a nova física está ocorrendo lá, substituindo a antiga física.
Uma última coisa: apenas porque não temos uma teoria combinada de GR / QM para descrever completamente o centro dos buracos negros, isso não significa que uma pesquisa de GR pura nessa área seja "errada" ou "inútil". Isso não significa que se possa imaginar alguma fantasia arbitrária ocorrendo dentro de um buraco negro.
Os astrônomos hoje em dia estão começando a observar objetos cósmicos que são muito parecidos com buracos negros , e suas propriedades observadas estão muito de acordo com o que GR prevê para essas coisas. Portanto, a pesquisa nesse campo deve continuar, porque está claramente no caminho certo, pelo menos das maneiras que podemos verificar hoje em astronomia.