Entrar nos campos científicos como profissional requer um doutorado atualmente. Isso pode ser em astronomia ou na especialidade escolhida (veja abaixo), mas muitos também estão em física; Como o assunto é chamado pode depender da instituição que você frequenta para obter o doutorado.
Perceba que o que você e o público em geral pensam como "Astronomia" provavelmente não é o mesmo que o mundo científico profissional chama de "Astronomia". Um "astrônomo" estuda estrelas e agrupamentos de estrelas. Alguém que estuda o nosso Sol é geralmente chamado de "Físico Solar" ou algo semelhante. Alguém que estuda outros planetas é um "cientista planetário"; isso pode ser subdividido em "Cientista Atmosférico" (que pode ser ainda mais dividido em "Químico Atmosférico", "Dinamista Atmosférico" etc.) e "Geólogo Planetário" e assim por diante. Um cientista que estuda as origens do universo é um "cosmologista". Se você tem uma área específica em que está interessado, pesquise isso para descobrir o que você precisa aprender para entrar nesse campo.
Independentemente do seu grau, você precisará de muita matemática e ciências. Durante sua graduação, eu recomendaria os seguintes mínimos: 3 semestres de cálculo, 1 semestre de equações diferenciais ordinárias, 1 semestre de álgebra linear (algumas escolas combinam ODE e LA), 3 semestres de física introdutória. Eu recomendaria um semestre ou dois de astronomia introdutória, embora algumas escolas não considerem isso absolutamente necessário, surpreendentemente. Outros cursos úteis de graduação dependerão do que você acha que deseja se especializar, mas incluiria mais física, mais astronomia, química, geologia, meteorologia etc.
Se você ainda não está na faculdade, faça todos os cursos de matemática e ciências físicas que puder no ensino médio ... a menos que esteja interessado em se tornar um astrobiólogo (alguém que estuda organismos vivos em outros planetas - um campo especulativo neste momento) , mas existe). Nesse caso, você também deve fazer alguns cursos de biologia!
Aprender a programação de computadores também seria bom, pois esses campos geralmente exigem programação para processamento e simulações de dados. Entre as linguagens de uso geral, a linguagem de programação Python pode ser a mais popular em ambientes científicos. Outros usados incluem IDL e MatLab . Os computadores Linux e Mac são mais utilizados no mundo científico do que na população em geral.
Conforme observado na resposta de Jeremy e em seus comentários, as perspectivas de emprego não são grandes para astrônomos e áreas afins. Dito isto, não quero desencorajá-lo, apenas prepará-lo para a realidade.
Obviamente, como outra resposta observou, se você apenas deseja observar o céu, não é necessário um diploma, apenas tempo e paciência.