O que você está perguntando, basicamente, é se existem provas para o modelo heliocêntrico do Sistema Solar.
Uma observação literal a olho nu da Terra girando em torno do Sol seria bastante difícil, uma vez que os seres humanos nunca foram para outro planeta ainda, e só foram à Lua brevemente, décadas atrás.
Aqui estão várias provas; alguns deles também são historicamente relevantes.
Leis de Kepler do movimento planetário
Essa se tornou uma das primeiras provas, assim que Newton descobriu a lei da gravitação universal e as "fluxões" (o que hoje chamaríamos de equações diferenciais). Quando você assume um modelo heliocêntrico e a lei do inverso do quadrado da gravidade, as leis de Kepler em um modelo heliocêntrico saem das equações naturalmente, assim que você faz as contas.
É como dizer: "se é heliocêntrico e sabendo que a lei da gravidade está correta, então as leis de Kepler devem ser assim". E então: "ah, mas os cálculos teóricos para as leis de Kepler combinam as observações reais com grande precisão. Portanto, nossa hipótese (heliocêntrica, lei do quadrado inverso) deve estar correta".
Foi a primeira indicação forte de que o modelo heliocêntrico está de acordo natural com as leis básicas da ciência, enquanto a visão geocêntrica estava se tornando cada vez mais artificial à medida que as evidências se acumulavam.
Tycho Brahe, no final dos anos 1500, forneceu a enorme massa de observações do movimento planetário. Johannes Kepler, no início dos anos 1600, usou as observações de Brahe para elaborar suas leis empíricamente (e também argumentando pelo modelo heliocêntrico). Isaac Newton, no final dos anos 1600, disse "sim, Kepler está certo, por causa da matemática e da lei da gravidade, e aqui está a prova do cálculo".
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion
Paralaxe estelar
Um argumento inicial contra o heliocentrismo foi que, se a Terra estivesse realmente girando em torno do Sol, objetos muito distantes, como as estrelas, pareceriam estar balançando levemente para frente e para trás em torno de suas posições médias. Como esse não é o caso, argumentou-se, portanto a Terra deve ser consertada.
Você pode ver esse argumento nos arquivos históricos, propostos pelos teólogos no final dos anos 1600, a favor do modelo geocêntrico e contra o crescente consenso então dos "filósofos naturais" (o que hoje chamaríamos de cientistas) de que o modelo heliocêntrico estava correto.
Na realidade, a paralaxe existe, é apenas muito pequena. Foi medido experimentalmente no século XIX, e foi rapidamente usado para determinar, pela primeira vez, a distância das estrelas mais próximas.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stellar_parallax
Aberração da luz das estrelas
A direção em que vemos uma estrela distante também muda quando o vetor de velocidade da Terra muda durante sua revolução em torno do Sol. Isso é diferente da paralaxe; é mais parecido com o modo como as gotas de chuva nas janelas laterais de um carro deixam traços diagonais quando o carro começa a se mover (mesmo que as gotas caiam verticalmente).
É essencialmente um fenômeno relativístico (quando aplicado à luz), mas pode ser parcialmente explicado em uma estrutura clássica. Na verdade, foi observado antes da paralaxe no final dos anos 1600 (o auge de Newton), mas foi inexplicável até o início dos anos 1700.
http://en.wikipedia.org/wiki/Aberration_of_light
Mecânica orbital de sondas interplanetárias
O desembarque de uma sonda em Marte ou Vênus simplesmente não funcionaria se você assumisse um modelo geocêntrico. Uma descrição geocêntrica do Sistema Solar pode permanecer válida em uma perspectiva puramente cinemática (apenas a geometria do movimento) enquanto você permanecer na Terra. Mas a ilusão se desintegra rapidamente assim que você começa a considerar a dinâmica (consulte as leis de Kepler) e / ou quando tenta realmente deixar a Terra (sondas espaciais).
Permitam-me reforçar esse ponto, pois várias respostas e comentários erraram: os modelos geocêntrico e heliocêntrico não são completamente intercambiáveis ou uma questão de relatividade. Você poderia construir um modelo geocêntrico "explicativo" e seria "correto", puramente de maneira cinemática (a geometria do movimento), e apenas como visto da Terra. Mas o modelo quebra assim que você considera a dinâmica (forças e massas); também se revelaria incorreto, mesmo do ponto de vista cinemático, assim que você sair da Terra.
Este não é apenas um artifício para simplificar os cálculos. Os cálculos dinâmicos estão errados em um modelo geocêntrico.
Para calcular a trajetória de precisão muito alta do veículo espacial que transporta o rover Curiosity e colocá-lo com sucesso em Marte, você deve operar de uma perspectiva heliocêntrica. A dinâmica está errada de outra maneira. Você não erraria o alvo apenas um pouco, em uma abordagem geocêntrica, perderia muito - o veículo nem sequer iria na direção geral de Marte.
Diversos
Quando observada em um telescópio, Vênus tem fases como a Lua, e também cresce e diminui de tamanho, sincronizadas com suas fases (é grande como um crescente fino, é pequena quando é gibosa). Em um modelo geocêntrico, as mudanças de tamanho podem ser explicadas por uma órbita elíptica de Vênus ao redor da Terra, mas as mudanças de fase sincronizadas com as que são mais difíceis de explicar. Ambos os fenômenos tornam-se triviais para explicar em um modelo heliocêntrico.
Deve-se notar que isso não prova necessariamente o modelo heliocêntrico, apenas o fato de Vênus estar orbitando o Sol , não a Terra . Portanto, é um argumento contra o geocentrismo puro (ou estrito).
Júpiter, quando observado em um telescópio, tem claramente seus próprios satélites. Este foi um golpe inicial contra um modelo geocêntrico estrito, que assumiu que tudo deve orbitar a Terra. Isso abriu a porta para a idéia de que as órbitas também poderiam estar centradas em outros corpos celestes, e para a idéia de que as coisas em órbita ao redor de objetos maiores poderiam ter seus próprios satélites menores (e, portanto, a Terra poderia orbitar o Sol sem perder a Lua).
A lista pode continuar (e a lista completa é muito longa), mas esses argumentos devem ser suficientes. Você não precisa necessariamente ver algo com seus próprios olhos para saber com certeza que está lá. No caso da revolução da Terra em torno do Sol, era simplesmente uma questão esmagadora de evidências se acumulando a seu favor.
O geocentrismo simplesmente não faz nenhum sentido na ciência moderna e na exploração espacial.