Por que Urano é capaz de suportar um sistema de satélite regular?

Urano tem uma obliquidade de 98 °, o que significa que a inclinação mútua entre um satélite orbitando em seu plano equatorial e a órbita de Urano ao redor do Sol excederia o ângulo crítico para as oscilações de Kozai . Isso levaria os satélites a altas excentricidades, o que provavelmente seria extremamente prejudicial para a estabilidade do sistema, mas Urano hospeda um sistema de satélites regulares em órbitas quase circulares em seu plano equatorial.

Isso sugere que algo está suprimindo as oscilações de Kozai para os satélites regulares, então o que está fazendo isso? Suspeito que esteja ligado à forma não esférica do planeta ou às interações gravitacionais entre as luas, mas não tenho certeza qual seria um fator mais relevante.

As perturbações solares na maioria dos satélites de Urano estão em uma escala muito pequena, o que pode explicar a ausência das instabilidades observadas na pergunta.

Um efeito perturbacional depende da escala das acelerações perturbadoras solares em relação à atração quadrada inversa comum do corpo primário. O fator de escala (geralmente designado$m^2$ em textos sobre a teoria lunar, como os "Tratamentos Matemáticos" de Airy e a "Teoria Lunar" de Godfray) aumentam com a separação do satélite do primário, é também como o cubo da razão de distância satélite-primário: primário-Sol ( veja o cálculo detalhado abaixo).

Tomando como exemplo a mais distante das principais luas de Urano, Oberon, a 583500 km:

O fator de escala para as acelerações perturbadoras solares em Oberon em sua órbita em relação a Urano é apenas cerca de 1 / 5.000.000 da aceleração gravitacional em direção a Urano sentida por Oberon (cálculo abaixo).

Comparando o fator de escala correspondente à lua da Terra e suas perturbações solares, o fator é muito maior, próximo a 1/178, como é bem conhecido. A Lua tem uma órbita bastante fortemente perturbada pelo sol em relação à Terra, mas as perturbações solares em Oberon são mais de quatro ordens de magnitude menores, realmente muito pequenas.

É possível que os dois pequenos satélites ultraperiféricos XVI e XVII de Urano possam estar sofrendo perturbações grandes o suficiente para impulsionar o crescimento de suas excentricidades, suas excentricidades em 0,18 e 0,52 são muito grandes em comparação com os principais satélites, todos com excentricidade <0,004 (fonte, Almanaque Astronômico 2016).

Detalhe do cálculo aproximado:

A aceleração perturbadora solar 'amostrada' em um satélite é usada para os propósitos atuais para ser representada pela aceleração perturbadora no satélite quando ele está próximo da quadratura com o Sol (como visto do planeta). Nesta configuração, a perturbação solar no satélite é direcionada para o planeta, adicionando aqui à atração inversa quadrada inversa do satélite em direção ao planeta.

Com constantes de massa do Sol, S e do planeta, P; semi-eixo planetário a; e separação planeta-satélite d, além de uma suposição de que a massa do satélite é muito pequena em relação aos outros dois:

1 ** a atração acelerada do planeta no satélite é $P/d^2$ ;

2 ** a atração acelerada do Sol no planeta é $S/a^2$ ;

3 ** e também (para uma aproximação bem próxima) é a amplitude da atração acelerativa do Sol no satélite $S/a^2$ .

4 ** Quando o satélite está em quadratura, a parte resolvida da atração vetorial do Sol que não se cancela com a atração do Sol no planeta, ou seja, a perturbação líquida no satélite naquele ponto, é dada quase pelas proporções do triângulo satélite-planeta-sol: os comprimentos de dois dos lados são aproximadamente ae o terceiro d. Nesta configuração, a parte resolvida da aceleração nº 3 na direção do planeta, para uma aproximação aproximada, é assim:

$(S/a^2) . (d/a)$.

A razão entre a aceleração perturbadora 4 e a atração planetária comum 1 é assim

$(S/P) . (d/a)^3$.

Para o Sol e Urano, S / P ~ = 22902,

para o Sol e a Terra + Lua, S / P ~ = 328901.

Urano está a aproximadamente 19 au do Sol para o da Terra 1, a au é 149597871 km, a distância planetocêntrica média de Oberon é 583500 km e a lua 385000 km.

Usando esses números, a proporção

'perturbação solar no satélite: atração planetária no satélite'

chega a ~ 1/178 para a Terra e a Lua e ~ 1 / 5.000.000 para Urano e Oberon.

Os minúsculos satélites exteriores de Urano estão mais distantes do que Oberon, numa proporção de cerca de 20,8 para o exterior (XVII). Assim, as perturbações nele, como uma proporção da atração comum de Urano à sua distância, são$(20.8)^3$ vezes maior que para Oberon, tornando o fator de escala de perturbação relevante tão grande quanto cerca de 1/550, ainda menor que o de nossa Lua, mas talvez o suficiente para que os efeitos perturbadores sejam refletidos em sua maior excentricidade de cerca de 0,52.

{Update:} Acontece que as órbitas das luas exteriores de Urano foram realmente estudadas: Brozovic, M .; Jacobson, RA (2009), "As Órbitas dos Satélites Uranianos Exteriores", The Astronomical Journal, 137 (4): 3834-42 . Apenas um dos satélites externos (de alta excentricidade) foi perturbado por uma ressonância Kozai e pode estar em órbita instável. Parece que as condições para o efeito não são cumpridas para os outros.