Qual é a distância focal das lentes gravitacionais de uma estrela anã branca?

Tentei procurar isso, mas não consegui encontrar nenhuma fórmula na distância das lentes gravitacionais. Eu sei que o nosso Sol é de cerca de 550 UA, embora outras distâncias funcionem também, pois não é um único foco devido ao campo gravitacional que diminui à distância do corpo em foco.

Existe uma fórmula razoavelmente simples para calcular a distância para uma lente gravitacional. Estou especificamente curioso por estrelas anãs brancas, pois há apenas 8 anos-luz de distância e elas parecem um bom objeto com uma boa lente, mas não super focado como uma estrela de nêutrons ou um buraco negro.

Por exemplo, se um telescópio fosse construído usando o Sirius B como foco, quão longe o telescópio teria que ser e quão poderoso ele seria (talvez o quão poderoso deva ser uma pergunta separada, mas deixarei aqui por enquanto?

A órbita binária de Sirius B seria um obstáculo ou um benefício, permitindo uma maior área de foco?

Pura curiosidade. Não espero que cheguemos lá tão cedo.

space-telescope gravitational-lensing

— userLTK
fonte

O foco gravitacional de que você está falando é, na verdade, um valor mínimo , definido por raios de luz paralelos de uma estrela muito distante, passando rapidamente pelo Sol à medida que são curvados de acordo com a Relatividade Geral.

A fórmula geral para essas lentes é que a luz é dobrada através de um ângulo (em radianos) de

α = \frac{4 G M}{c^{2} r},

$\alpha = \frac{4 GM}{c^2 r},$ Onde

M

$M$ é a massa da lente (assumida como sendo uma massa pontual ou esférica simétrica) e

r

$r$ é a aproximação mais próxima de um raio de luz à massa da lente.

Descobrir onde um anel de raios será focado é apenas um pouco de trigonometria.

d_{f} ≃ \frac{r}{α} = \frac{c^{2} r^{2}}{4 G M}

$d_f \simeq \frac{r}{\alpha} = \frac{c^2 r^2}{4GM}$

Essa distância focal é mínima, pois seria maior para um anel de raios que passasse pela lente com um valor maior de $r$ .

Para o Sol como uma lente você usa $M=2\times 10^{30}$ kg e $r=6.9\times 10^{8}$ me calcular $d_f = 540$ au.

As estrelas anãs brancas têm uma massa semelhante (na verdade, a maioria tem cerca de 60% da massa do Sol, mas Sirius B é quase exatamente uma massa solar), mas têm raios do tamanho da Terra - ou seja, cem vezes menos que o Sol.

Isso significa que o valor de $d_f$ será cerca de 10.000 vezes menor que 540 au. Você pode usar a fórmula acima para calculá-la para qualquer combinação de massa e raio.

Para usar o telescópio, coloque os detectores no foco escolhido e observe o brilhante "anel de Einstein" de uma fonte distante que está exatamente atrás da lente. O fator de ampliação (o aumento na quantidade de luz coletada da fonte) é então $4\alpha/\theta$ , Onde $\theta$ é o tamanho angular da fonte sem a lente.

Para uma anã branca, a ampliação no foco mínimo seria 100 vezes maior, porque $\alpha$ é 100 vezes maior.

Observe que o tamanho da imagem é modificado pela proporção da distância focal e a distância da fonte.

x_{i} = x_{o} \frac{d_{f}}{d_{o}}

$x_i = x_o \frac{d_f}{d_o}$ Assim, a imagem de um objeto distante será 10.000 vezes menor do que se estivesse usando o Sol, o que é muito mais conveniente!

por exemplo, observe um planeta semelhante à Terra a 10 ly em um foco de 630 au (= 0,01 ly) do Sol. O diâmetro da imagem será 12,5 km. São muitos detectores de CCD! O uso de uma anã branca a uma distância focal 10.000 vezes menor fornece uma imagem com apenas 1,25 m de largura.

Tudo isso pressupõe que o telescópio esteja perfeitamente apontado com a fonte logo atrás da lente. Qualquer movimento relativo deve ser corrigido ou a imagem se moverá rapidamente pelo plano focal (como um planeta visto com alta ampliação através de um telescópio normal).

— Rob Jeffries
fonte

Resposta brilhante. Parece que um telescópio Sirius B pode realmente valer a pena construir se e quando chegarmos ao sistema Sirius. Um planeta parecido com a Terra na galáxia de Andrômeda ainda teria alguns pixels de largura para esse telescópio, eu acho.

— Steve Linton

@SteveLinton

x_{i} = 1.25 \times 10^{6} \times 0.01 \times 10^{- 4} / 2 \times 10^{6} = 0.6

$x_i = 1.25\times 10^6 \times 0.01 \times 10^{-4}/2\times 10^6 = 0.6$ mícrons. Seria melhor usar o Sol e obter uma imagem de tamanho 6 mm.

— Rob Jeffries

Assim, a estrela que focaliza cria uma lente cuja potência varia com o raio. Isso é mais ou menos como um elemento de correção para lentes convexas esféricas (cuja potência é maior em um raio maior).

— Carl Witthoft

Se eu estiver lendo isso direito, a distância da anã branca e o tamanho da imagem serão ajustáveis com a distância. Mais longe, seria melhor evitar a ridícula alta velocidade orbital a 0,054 UA e manter a coisa focada em um só lugar. Talvez algum tipo de ajuste mais baixo da órbita de Lagrange (talvez meio), talvez 5 AU para L1, cerca de 20 AU para L4 / L5 possa funcionar para minimizar o ajuste. Além disso, é bom para a energia solar de Sirius A. 8 anos é muito tempo para aguarde informações, mas não escandalosamente longo. O maior obstáculo, é claro, seria levar tanto equipamento a 8 anos-luz de distância.

— userLTK