Calcular a sombra na Terra de um grande disco orbital

Como calcular a sombra na Terra de um grande disco orbital (órbita baixa)?

amateur-observing

— Ion Corbu
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Para alguém que deseja explicar a matemática, fiz os cálculos aproximados para metade do problema: a umbra na superfície da Terra deve ter ~ 9,25 km de diâmetro, assumindo que a curvatura da Terra seja insignificante (que é uma suposição). realmente não deveria estar fazendo).

— Cloudy7

Respostas:

Pode ser mais fácil usar triângulos semelhantes .

\frac{R d}{b} = \frac{R s}{uma}

$\frac{Rd}{b} = \frac{Rs}{a}$

$Rs$ é 696.000 km e $Rd$ é de 5 km. $a$ tem cerca de 150.000.000 km e c é 80 km.

O menor triângulo é usado a seguir:

\frac{r}{b - c} = \frac{R s}{uma}

$\frac{r}{b-c} = \frac{Rs}{a}$

Resolva para re você obtém

r = R d - R s \frac{c}{uma} = 4.63 km .

$r = Rd - Rs \frac{c}{a} = \text{4.63 km}.$

Dígitos extras não são úteis porque o diâmetro exato do Sol depende de como você o define e a distância do Sol à Terra varia quase +/- 2%.

$Rs/a$ é de cerca de 0,00464 e esse também é o meio ângulo do Sol em radianos. Converta-o em graus, multiplicando-o por 180 / pi e obtendo 0,266 graus, ou um quarto de grau. O diâmetro total do Sol é o dobro disso, ou cerca de meio grau.

— uhoh
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Isso é óptica linear, o que deve ser bom. Seria interessante calcular o Ponto de Arago para vários

R_{d}

$R_d$ .

— Carl Witthoft

Eu considerei isso, mas não generaliza tão bem. A primeira que divide é que c não vai ficar a 80 km para discos maiores. Também não funciona perto do Sol, mas para este caso específico, isso é realmente tudo o que você precisa.

— SE - pare de disparar os mocinhos

A priori, você não pode saber que

a

$a$ é de cerca de 150 milhões de km - por exemplo, e se o disco tivesse o mesmo diâmetro que o Sol? Em vez de,

(R_{d} - r) : (R_{s} - R_{d}) = c : (a - b)

$(R_d-r) : (R_s-R_d) = c : (a-b)$ e

a - b

$a-b$ é a distância do Sol para o disco (de modo que é de aproximadamente 150 milhões de km)

— Hagen von Eitzen

Muito obrigado pela sua resposta ... Sua informação foi muito útil para mim. Eles confirmaram minha hipótese. Você acha que uma órbita inferior a 80 km poderia ser usada para colocar esse disco? Qual poderia ser a órbita mais baixa, na sua opinião, a visão circular de baixa altitude, na qual esse disco poderia ser colocado?

— Ion Corbu

Essa é uma pergunta diferente, mas as coisas a 80 km não permanecerão em órbita por muito tempo devido ao arrasto atmosférico. Se você quiser explorar isso, faça uma pergunta separada.

— Uhoh

Brincando com um sistema de álgebra computacional, o problema realmente tem uma solução exata, mas é feio o suficiente para que uma aproximação numérica muito mais simples seja mais prática.

Primeiro, precisamos encontrar o ângulo do pico do cone da sombra.

O pico, o centro do Sol e o ponto tangente ao Sol formam um triângulo com um ângulo reto. Portanto, metade do ângulo do pico pode ser expresso como:

v = {pecado}^{- 1 1} (\frac{r_{s você n}}{r_{p e uma k}})

$v = \sin^{-1}\left(\frac{r_{sun}}{r_{peak}}\right)$

Nós não temos $r_{peak}$ , mas temos a distância do Sol à Terra, que é muito próxima. Isso pode nos dar uma primeira estimativa para o ângulo.

Para corrigir o ângulo, podemos calcular um novo $r_{peak}$ :

r_{p e uma k} = r_{e uma r t h - o r b Eu t} - r_{eu E O} + \frac{r_{d Eu s k}}{bronzeado (v)}

$r_{peak} = r_{earth-orbit} - r_{LEO} + \frac{r_{disk}}{\tan(v)}$

Usando o novo $r_{peak}$ calcular um novo $v$ deve convergir muito rapidamente para o novo ângulo.

eu recebo $v = 0.004651$

Agora, precisamos descobrir como esse cone de sombra se projeta na Terra.

Para calcular o raio do disco projetado, que tem seu centro um pouco abaixo da superfície, basta escalar o disco pela inclinação do cone e pela distância entre o disco, $d$ .

r_{você m b r uma} = r_{d Eu s k} - d bronzeado (v)

$r_{umbra} = r_{disk} - d\tan(v)$

Novamente, não temos exatamente $d$ , mas a altitude orbital está muito próxima. Mas podemos usar o $r_{umbra}$ estimamos que conseguimos obter uma melhor $d$ :

d = r_{eu E O} - \sqrt{r_{e uma r t h}^{2} - r_{você m b r uma}^{2}}

$d = r_{LEO} - \sqrt{r_{earth}^2 - r_{umbra}^2}$

E mais uma vez, os valores devem convergir muito rapidamente.

eu recebo $r_{umbra} = 4.628 km$

Para obter o raio na curva da Terra, você pode calcular o ângulo central e multiplicar com a circunferência da Terra, mas em 4 algarismos significativos, o resultado ainda é $4.628 km$

— SE - pare de despedir os mocinhos
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Isso parece assumir que o Sun e o disco estão diretamente sobrecarregados. Quando isso não for verdade, o que ocorrerá na maioria das vezes, a sombra será mais parecida com uma elipse, mas, como a sombra estará mais distante do disco, a região da sombra completa poderá ser menor ou inexistente.

— Steve Linton

De fato, assume que, como é o que o OP parece assumir em seu diagrama.

— SE - pare de demitir os mocinhos

— Ion Corbu

Manter esse disco em órbita seria duas soluções: 1. O disco tem uma velocidade orbital de cerca de 21.000 km / hora. Ou seja, ele gira em torno da Terra em cerca de 90 minutos. Solução possível, mas isso não me interessa.

— Ion Corbu

2. Ter propulsores (termoquímicos, elétricos, eletromagnéticos, iônicos. Fotônicos) que seriam a força necessária para manter esse disco em órbita (80 km) acima de um ponto fixo. Para combater a força gravitacional. E para impedir que o disco entre em órbita e sua desintegração. O peso específico de disco tal poderia ser de cerca de 10 kg / m2

— Ion Corbu

Vamos ver até onde chegamos sem uma calculadora (possivelmente apenas aproximadamente).

Aproximando o Sol como uma fonte pontual e infinitamente distante e o solo como plano, a sombra do disco é um disco afiado de diâmetro $10\,\text{km}$ . Mas o Sol não é uma fonte pontual. Do alto de nossa cabeça, podemos lembrar que o Sol (e a Lua) têm um diâmetro angular de cerca de meio grau. Convertido em radianos: $\frac12^\circ\cdot\frac\pi{180^\circ}\approx 0.009$ . Multiplique com o $80\,\text{km}$ altitude para chegar a $\approx 700\,\text{m}$ como a espessura do anel penumbra, que tem o limite original do disco no meio, ou seja, a sombra central é $\approx 10\,\text{km}-700\,\text{m}$ larga e a penumbra até a borda externa é $\approx 10\,\text{km}+700\,\text{m}$ Largo.

— Hagen von Eitzen
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