Qual é a razão correta dos efeitos gravitacionais Newtonianos e Relativísticos Gerais do Sol + sistema orbital de planeta único

Para um sistema orbital hipotético (Sol + planeta único), o modelo Newtoniano e o modelo de Relatividade Geral (GR) produzem expressões diferentes para o efeito gravitacional do Sol no planeta. Isso é bem conhecido.

A razão entre os efeitos newtoniano e GR é expressa de diferentes maneiras por diferentes escritores.

Estou tendo problemas para conciliar duas dessas expressões da razão Newtoniana: GR.

Em primeiro lugar, Walter (2008) (equação 12.7.6, página 482) apresenta a seguinte expressão para a equação de movimento produzida a partir do modelo GR

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{G M}{h^{2}} + \frac{3 G M}{c^{2}} u^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ que , , é a constante universal de gravitação, é a massa do Sol, é a velocidade da luz. Aqui, o termo é o termo newtoniano comum e o termo é o termo adicional introduzido por GR.

u = (1 / r)

$u= (1/r)$

h = v r

$h=vr$

G

$G$

M

$M$

c

$c$

G M / h^{2}

$GM/h^2$

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$

Disto Walter deriva a razão aproximada entre os efeitos newtoniano e GR como para onde é a velocidade orbital do planeta em uma órbita circular ( com distância = , o eixo semi-principal). $(1)$ $(1 + 3v^2/c^2)$ $v = \sqrt{GM/r}$ $r$ $a$

Segundo, uma apresentação alternativa (referente à chamada solução de Schwartzchild) é apresentada por Goldstein em Mecânica Clássica (3ª Edição), páginas 536-538. O potencial de GR é dado por que é a massa corporal alvo é uma constante (Goldstein usa vez de , veja abaixo, mas eu já usei para significar algo diferente em Walter acima) $V_{GR}$

V = - \frac{G M m}{r} - \frac{b}{r^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$

m

$m$

b

$b$

h

$h$

b

$b$

h

$h$

diferenciando o potencial em relação à distância para dar força, derivamos $r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 b}{r^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

Agora Goldstein define a constante assim: - que e $b$

b = \frac{k l^{2}}{m^{2} c^{2}} Goldstein eqtn [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$

k = G M m

$k=GMm$

l^{2} = m k a (1 - e^{2}) Goldstein eqtn[12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

assim

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m L^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

Portanto, a equação da força GR torna-se substituindo por e obtemos

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2} m^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

Portanto, a razão Newtoniana: GR derivada de Goldstein é igual à razão derivada de Walter, exceto que a primeira possui o termo adicional de no numerador. Mesmo se tentássemos falsificar isso numericamente, invocando uma meta de massa unitária, ela ainda estaria dimensionalmente incorreta. $m^2$

Então, qual é a proporção correta?

ATUALIZAÇÃO ------------------------------------------------- --------------------

Na refatoração de , usei o momento angular quando deveria ter usado o momento angular específico . Após a correção, o extra desaparece. Goldstein concorda com Walter. Meus agradecimentos a Stan Liou pela iluminação. $b$ $L$ $\mathfrak{l}$ $m^2$

Análise corrigida: -

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m l^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

Portanto, a equação da força de GR torna-se substituindo por obtemos

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

Portanto, a razão correta da força gravitacional Newtoniana para GR é: -

F_{N e w t o n i a n} : F_{G R} \approx 1 : (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

NOTAS

Essa relação é aproximada e se aplica apenas ao subdomínio "baixa velocidade, campo fraco" do modelo GR.

Goldstein também enfatiza que o efeito GR não é um efeito de velocidade (presumivelmente como na velocidade do corpo-alvo através de qualquer tipo de éter ou fluxo).

Coincidentemente (no mesmo subdomínio, por exemplo, Mercúrio orbitando o Sol), uma força radial newtoniana modificada de magnitude , em que é a velocidade transversal instantânea de um planeta alvo pequeno, produz rotação apsidal não newtoniana ("precessão do periélio") da mesma magnitude (dentro de 1%) que a GR. $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ $v_t$

Goldstein precisa ser lido com cuidado. Aqui, ele usa para denotar momento angular noutro local (por exemplo, eqtn [1,7]) ele usa . Ele geralmente se refere a como "potencial" quando se refere claramente a "energia potencial" (por exemplo, eqtn [3,49]). $l$ $L$ $V$

orbit general-relativity

— steveOw
fonte

Não existe uma "proporção" específica. Se isso fosse tudo o que havia para a relatividade geral, GR seria fácil. GR não é "fácil". A relação postada nesta pergunta é talvez a mais simples das linearizações simples da relatividade geral.

— David Hammen

É claro que David está correto, pois esse tipo de comparação só faz sentido para órbitas lentas em uma aproximação de campo fraco, embora, felizmente, esse também seja o contexto dessa questão. Pode-se notar que, para o caso específico do espaço-tempo de Schwarzschild, as órbitas são exatamente descritas pelo potencial efetivo; a aproximação ocorre quando se trata a coordenada radial e o tempo apropriado como se fossem newtonianos, o que é inválido em situações mais gerais.

— Stan Liou

David e Stan: Obrigado. Sim, eu estava ciente, mas adicionei esclarecimentos no final da pergunta.

— precisa saber é o seguinte

Respostas:

Órbitas no espaço-tempo de Schwarzschild podem ser descritas pelo potencial efetivo onde é o momento angular específico da órbita, que é uma quantidade conservada. Os dois primeiros termos corresponder a forma do potencial efetivo newtoniana, exceto que aqui estamos nos referindo ao Schwarzschild coordenada radial e tempo apropriado da partícula em órbita, em vez de distância radial e coordenar tempo. O primeiro termo é o potencial gravitacional usual e o segundo é o potencial centrífugo, de modo que o de Goldstein faz algum sentido como um termo de energia potencial gravitacional.

V_{eff} = - \frac{G M}{r} + \frac{l^{2}}{2 r^{2}} - \frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}},

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$

r

$r$

V

$V$

Portanto, com significa que é o momento angular, e exatamente como diz Goldstein. Se diferenciarmos em relação ao tempo adequado, então $l^2 = mka(1-e^2)$ $k = GMm$ $l$ $l = m\mathfrak{l}$

\frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}} m = G M m \frac{l^{2}}{m^{2}} \frac{1}{c^{2} r^{3}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\frac{k l^{2}}{m^{2} c^{3}}}} \frac{1}{r^{3}},

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$

\begin{array}{rcl} m \ddot{r} - \frac{l^{2}}{m r^{3}} & = & - \frac{k}{r^{2}} - \frac{3 b}{r^{4}} \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{l^{2}}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{m (G M m) a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ Isso é dimensionalmente correto, pois e têm dimensão, enquanto O lado esquerdo tem a forma newtoniana.

v_{c} / c

$v_c/c$

a / r

$a/r$

\frac{l^{2}}{m r^{3}} = \frac{k}{r^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r} .

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$

— Stan Liou
fonte

ℓ

$\ell$ tem a dimensão devido à inclusão de na Eqtn 12.50. Talvez a Eqtn.12.48 para deva ter no denominador em vez de ?

M D^{2} / T

$MD^2/T$

k = G M m

$k=GMm$

b

$b$

m^{4}

$m^4$

m^{2}

$m^2$

— steveOw

Aha! Vejo que o erro é meu. Confundi momento angular com momento angular específico (sem massa). Goldstein concorda com Walter. Seu está pois o segundo vem do termo .

ℓ^{2}

$\ell^2$

m

$m$

k = G M m

$k=GMm$

— steveOw

@steveOw sim, eu interpretei mal como as variáveis foram definidas também. Eh!

— Stan Liou 15/10

Eu acho que sua última equação, mas deve-se ter (a ^ 2 / r ^ 2) em vez de (a / r) assumindo que a equação anterior está correta. De qualquer maneira, qualquer presença de r neste termo refuta minha tese ... que agora estou reavaliando ... Posso fazer uma pergunta separada para esclarecer meus pensamentos.

— precisa saber é o seguinte

@steveOw Como como introduzido no início do segundo parágrafo (veja também aqui, mas com ), está correto. Mas você é bem-vindo a fazer qualquer pergunta posterior.

l^{2} / m^{2} = G M a (1 - e^{2})

$l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$

m ≪ M

$m\ll M$

a / r

$a/r$

— 9788 Stanley Liou #

A expressão usada pela NASA / JPL para aproximar os efeitos relativísticos da órbita de um único planeta mais o Sol em nosso sistema solar é conhecida como " expansão pós-newtoniana " e se parece com:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} (1 - \frac{4 G M}{r c^{2}} + \frac{v^{2}}{c^{2}}) \hat{r} + \frac{4 G M}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{c^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Se existem muitos planetas, a expressão se torna mais complexa. Você pode comparar isso com a aceleração newtoniana clássica:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

Eu não sou um grande fã dessa aproximação, mas é o que é mais usado.

Para uma órbita circular pura nas coordenadas de Schwarzschild, você obtém a mesma velocidade orbital em GR (em tempo de coordenadas) que classicamente.

Se você está retirando um objeto do repouso, a aceleração inicial em GR (em tempo de coordenadas) é a mesma que clássica.

Geralmente, se você quiser saber se o GR ou a gravitação newtoniana clássica resultam em mais aceleração, você deve decidir se está interessado no resultado em "tempo de coordenadas" ou em "tempo adequado" e a fração também varia dependendo de qual direção a planeta está se movendo em comparação com o sol.

— Agerhell
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