Como você calcula os efeitos da precessão em órbitas elípticas?

A primeira lei de Kepler afirma que os planetas (e todos os corpos celestes que orbitam outro corpo) viajam em órbitas elípticas, que possuem fórmulas conhecidas que tornam relativamente fácil calcular os elementos orbitais e o comportamento associado. No entanto, a precessão contínua significa que a órbita está constantemente mudando - e, portanto, o planeta não está realmente viajando na elipse em que se propôs! Você pode calcular a precessão e seus efeitos relacionados ( esta pergunta e resposta são úteis), mas existe alguma maneira de calcular como a órbita elíptica será "deformada" pela precessão?

Um bom ponto de partida seria <inserir nome de algum cientista de muito tempo atrás> equações planetárias de movimento. Por exemplo, existem as equações planetárias de Lagrange (às vezes chamadas de equações planetárias de Lagrange-Laplace), as equações planetárias de Gauss, as equações planetárias de Delaunay, as equações planetárias de Hill e várias outras. O tema comum entre essas várias equações planetárias é que elas produzem as derivadas temporais de vários elementos orbitais em função das derivadas parciais da força perturbadora / potencial perturbador em relação a alguma posição generalizada.

Em geral, as únicas palavras que podem descrever o resultado desse processo no início são "bagunça quente". Uma bagunça quente não deteve aquelas mentes brilhantes da antiguidade. Por meio de várias suposições simplificadoras e da média de longo prazo, eles apresentaram descrições bastante simples de, por exemplo, (precessão apsidal) e (precessão plana). Você pode ver isso no trabalho de 1900 citado por Hill abaixo.⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Embora essas técnicas sejam antigas, essas equações planetárias ainda são usadas hoje. Às vezes, você fica com uma "bagunça quente" agora que temos computadores. As pessoas estão usando equações planetárias acopladas a técnicas de integração geométrica para produzir integradores que são rápidos, precisos, estáveis ​​e conservam momento e energia angulares por longos períodos de tempo. (Normalmente, você não pode ter tudo isso. Você tem sorte se tiver apenas duas ou três.) Outra característica interessante dessas equações planetárias é que elas permitem que você veja características como ressonâncias que, de outra forma, são obscurecidas pelos verdadeiros " bagunça quente "das equações cartesianas de movimento.

Material de referência selecionado, classificado por data:

Hill (1900), "Sobre a extensão do método de Delaunay na teoria lunar ao problema geral do movimento planetário", Transactions of the American Mathematics Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 e posterior), "Fundamentos de Astrodinâmica e Aplicações", vários editores. Além do buraco que perfura sua carteira, você não pode errar com este livro.

Efroimsky (2002), "Equações para os elementos keplerianos: simetria oculta", Instituto de Matemática e suas Aplicações

Efroimsky e Goldreich (2003), "Simetria de medida do problema do corpo N na abordagem Hamilton-Jacobi". Jornal de Física Matemática , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), curso de pós-graduação em sistemas planetários, Instituto de Astronomia, Cambridge.
Os resultados das equações planetárias de Lagrange são apresentados no slide 6.

Ketchum et al. (2013), "Ressonâncias médias de movimento em sistemas de exoplanetas: uma investigação sobre o comportamento de assentimento". The Astrophysical Journal 762.2.

A única órbita elíptica verdadeiramente confocal é a de uma partícula de teste ligada no potencial central ou, equivalentemente, a de duas massas semelhantes a pontos (com distribuições de massa internas esfericamente simétricas) que se atraem com a gravidade newtoniana (e com valores negativos). energia total, isto é, estar ligados um ao outro).$-k/r$

Todo o resto é não elíptico (órbitas não acopladas são parabólicas ou hiperbólicas), mas a maioria dos desvios é pequena. Pequenos desvios podem surgir de várias fontes, incluindo termos quadrúpedes na distribuição de massa dos corpos (em particular o Sol), forças não gravitacionais (pressão de radiação e arrasto de gás nos grãos de poeira), efeitos não newtonianos (GR), perturbações de outros objetos (todos os outros planetas). O próprio Newton estava bem ciente desse último efeito.

Se os desvios são pequenos, a maneira tradicional de estimar é a teoria da perturbação , na qual se integra a força perturbadora ao longo da órbita imperturbada (elíptica). Por exemplo, para obter a precessão da periapse, poderia-se integrar as mudanças no vetor de excentricidade. Uma rotação desse vetor corresponde à precessão da periapse. Veja minha resposta a esta pergunta , para um exemplo exatamente disso.

David Hammen escreveu

As pessoas estão usando equações planetárias juntamente com técnicas de integração geométrica ...

Você também pode tentar (o que eu chamo) uma simulação simples de etapas finitas usando as leis de Newton para operar com massas, posições, velocidades e acelerações de objetos. Não tenho certeza se isso se enquadra no que David chama de "técnicas de integração geométrica". O que quero dizer é que você pode fazê-lo sem incorporar as equações planetárias. Desvantagem = o simulador "esquina" usando aproximações e isso leva a comportamentos no modelo que são artefatos. Essas desvantagens podem ser superadas usando outras técnicas. Vantagem = facilita o design do código, evita a suspeita de que as equações planetárias (e suas suposições) estão dirigindo o programa.

Você não precisa ser especialista em métodos numéricos para usar a técnica simples de Integração do Leapfrog (descrita em detalhes em Feynman Lectures vol I ) para modelar a Precessão Newtoniana em órbitas do sistema Solar por períodos de até alguns séculos. Executando simulações em várias etapas de tempo (por exemplo, ), plotando os resultados no Excel, ajustando uma curva e extrapolando para$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$você pode obter resultados para a precessão newtoniana média de longo prazo que esteja dentro de 1% dos valores aceitos. Outra vantagem sobre os métodos analíticos que produzem resultados médios a longo prazo é que você pode examinar comportamentos em escalas de tempo mais curtas. Por exemplo, se você representar graficamente a direção do periélio versus o tempo de um determinado planeta (por exemplo, Mercúrio), poderá ver as flutuações periódicas de anos na taxa de precessão resultantes do movimento de Júpiter ao redor do Sol. Também é muito divertido (e muito fácil depois de escrever o código básico) jogar "what if?" simulações variando o número e as propriedades dos corpos no sistema e até adicionando forças não-newtonianas adicionais. $\approx 11.9$

Para citar Feymnan: -

Pode ser que em um ciclo de cálculo, dependendo do problema, possamos ter 30 multiplicações, ou algo assim, portanto, um ciclo levará 300 microssegundos. Isso significa que podemos realizar 3000 ciclos de computação por segundo. Para obter uma precisão de, digamos, uma parte em um bilhão, precisaríamos de 4 × 10 ^ 5 ciclos para corresponder a uma revolução de um planeta ao redor do sol. Isso corresponde a um tempo de computação de 130 segundos ou cerca de dois minutos. Assim, leva apenas dois minutos para seguir Júpiter ao redor do sol, com todas as perturbações de todos os planetas corrigidas para uma parte em um bilhão, por esse método!

Mas você precisa pensar cuidadosamente sobre o que é possível deduzir com segurança nas simulações - por exemplo, se o seu intervalo de tempo for superior a algumas centenas de segundos, a simulação indicará uma precessão na direção oposta à que realmente ocorre (ou seja, retrógrada quando deve ser progressivo).