O que determina a configuração de órbitas em um sistema binário?

Existem essencialmente duas configurações de órbitas que um sistema com dois corpos pode ter:

Uma configuração em que os caminhos não se cruzam:

Uma configuração onde os caminhos se cruzam:

Nota: O tamanho dos corpos em relação um ao outro não é importante aqui.

O que determina em qual das duas configurações um sistema binário será desenvolvido?

Seguindo a convenção , , no quadro do centro de massa, temos, por definição, Portanto, implica que as órbitas individuais são seções cônicas semelhantes nesse quadro e, além disso, no caso delimitado, são elipses que compartilham um foco comum no centro de massa, com todos os três focos distintos sendo colineares e com o centro entre eles. Embora exista um caso degenerado de uma órbita circular.$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$$M = m_1+m_2$

$$\begin{eqnarray*}\mathbf{r}_1 = -\frac{m_2}{M}\mathbf{r}\text{,}\quad&\mathbf{r}_2 = \frac{m_1}{M}\mathbf{r}\text{.}\end{eqnarray*}$$ $\ddot{\mathbf{r}} = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2$

Portanto, existe uma condição geometricamente simples para a configuração de interseção: existe interseção se, e somente se, a distância até a apoapsis da massa maior (órbita menor) for maior ou igual à distância da periapsia da massa menor (órbita maior) ) Como uma elipse geral em coordenadas polares sobre um foco pode ser descrita por que é a excentricidade e as órbitas individuais são proporcionais, temos interseção se, e somente se, pois os apsides ocorrem quando o termo cosseno é .

$$r = \frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}\text{,}$$ $e$ $$\frac{1-e}{1+e}\leq \frac{m_1}{m_2}\leq\frac{1+e}{1-e}\text{,}$$ $\pm 1$