Como Kepler "adivinhou" sua terceira lei a partir de dados?

É incrível que Kepler tenha determinado suas três leis analisando dados, sem calculadora e usando apenas caneta e papel. É concebível como ele provou que suas leis descreviam os dados depois que ele já os havia conjecturado, mas o que eu não entendo é como ele os adivinhou em primeiro lugar.

Focarei em particular a terceira lei de Kepler, que afirma que o quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do eixo semi-principal da órbita.

Suponho que Kepler estivesse trabalhando apenas com dados sobre os planetas, além de nossa própria lua e o sol. Faço essa suposição porque não acho que o Kepler tenha dados sobre outras luas, cometas ou asteróides, que ainda não haviam sido observados pelo telescópio. Se isso for verdade, sabendo que Netuno, Urano e Plutão ainda não foram descobertos quando o Kepler estava vivo, isso significa que o Kepler tinha menos de 9 pontos de dados para trabalhar.

Meu amigo afirma que é totalmente surpreendente como Kepler adivinhou esse relacionamento (embora ele não forneça um método de como Kepler poderia ter feito isso), e também que as observações de Kepler "não são tão difíceis". Como desafio, dei a meu amigo uma tabela de dados com uma coluna chamada , a outra y e 9 coordenadas ( x , y ) que se encaixam no relacionamento x 4 = y 3 . Eu disse "por favor encontre a relação entre x e y " e, como você pode esperar, ele não conseguiu.$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Por favor, explique-me como Kepler adivinhou essa relação trabalhando com tão poucos dados. E se minha suposição de que o número de pontos de dados que Kepler tinha à sua disposição é pequena, está errada, então ainda acho bastante difícil adivinhar esse relacionamento sem uma calculadora.

A terceira lei de Kepler é trivial (na minha opinião) comparada à sua primeira lei. Estou bastante impressionado que ele foi capaz de deduzir que as órbitas eram elipses. Para conseguir isso, ele teve que ir e vir traçando a direção de Marte da Terra e a direção da Terra de Marte. Ele sabia a duração dos anos dos dois planetas, então as observações separadas por um ano de Marte diferem apenas porque a Terra se moveu.

Mas talvez não seja tão trivial. Ele publicou suas duas primeiras leis em 1609. A terceira lei só apareceu dez anos depois, em 1619. Com dez anos para trabalhar nela, mesmo o relacionamento mais obscuro será encontrado.

$x^4 = y^3$$3/4$

O momento é certo. Napier publicou seu livro sobre logaritmos em 1614. Kepler pode ter, por capricho, aplicado essa nova e brilhante ferramenta matemática a seus dados antigos e duros.

O principal obstáculo era que, na época, havia apenas seis planetas conhecidos, então ele não tinha muitos pontos de dados, e os que ele possuía não eram precisos.

O outro problema de Kepler é que nenhuma de suas leis fazia sentido para ele. Eles se encaixam nos dados, mas ele não tinha ideia do porquê. Ele não possuía as leis do movimento de Newton, não tinha entendimento de força, momento, momento angular e certamente não a gravidade. Até onde ele sabia, os planetas se moveram da maneira que fizeram porque Deus o decretou e os anjos foram incumbidos de empurrar os planetas ao longo de suas órbitas. Os planetas externos se moviam mais devagar porque estavam sendo empurrados por anjos menores.

(Feynman faz o comentário que entendemos muito mais agora. Agora sabemos que os anjos estão do lado de fora empurrando em direção ao Sol.)

O relato de Kepler de como a terceira lei surgiu é a seguinte (Caspar p.286; grifo meu):

Em 8 de março deste ano de 1618, se as informações exatas sobre o horário são desejadas, elas apareceram na minha cabeça. Mas tive azar quando o inseri no cálculo e o rejeitei como falso. Finalmente, em 15 de maio, ele voltou e, com um novo início, conquistou a escuridão da minha mente, onde se seguiu um acordo tão excelente entre meus dezessete anos de trabalho nas observações tychônicas e minha presente deliberação que, a princípio, acreditava ter sonhou e assumiu o procurado nas provas de apoio. Mas é inteiramente certo e exato que a proporção entre os tempos periódicos de dois planetas é precisamente uma vez e meia a proporção das distâncias médias .

Embora Kepler na verdade não descreva a inspiração que o levou a acreditar nisso, o curioso fraseado fornece uma pista muito forte quando combinada com algumas informações biográficas de fundo:

1. John Napier publicou Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto em 1614, que continha a então nova invenção dos logaritmos. Kepler estava ciente do trabalho de Napier em 1617 (Caspar, p. 308), talvez antes.
2. Joost Bürgi publicou trabalhos sobre logaritmos quase ao mesmo tempo que Napier, e Kepler estava igualmente ciente de Bürgi, até elogiando suas habilidades matemáticas como superando a maioria dos professores de matemática.

Assim, a afirmação de Kepler é equivalente a dizer que os dados fazem uma inclinação de 1,5 em um gráfico de log-log, que é uma relação linear muito simples nessa escala.

Referências:

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, Nova Iorque, 1993).