Simplesmente sabendo o número de dentes em uma coroa, podemos determinar um diâmetro preciso?

Um anel de roda dentada é um polígono regular de n lados onde n é o número de dentes. O comprimento lateral s do polígono é a distância de ponta a ponta de cada dente de coroa.

A fórmula para o raio de um polígono regular é:

_{(fonte: mathopenref.com )}

Usando os 12,75 mm da zenbike acima para s , obtemos 107,61 para o raio ou 215,22 mm para o diâmetro, o que é muito próximo de sua aproximação.

A comparação das duas fórmulas mostra que o prazo de duração, como esperado, pode ser eliminado. Isso nos deixa com:

1 / sin ( pi / n ) vs. n / pi

Para n grande , esses termos convergem, introduzindo um erro de apenas 0,12 mm quando n = 53. É um pouco maior à medida que n fica menor, diferindo de 0,64 mm para n = 11.

Para todos os fins práticos, eu usaria s * n / pi , mesmo para a menor engrenagem que você encontrar, ela estará dentro de um milímetro.

Se você souber apenas o passo da corrente (padrão para a maioria das bicicletas) e o número de dentes, poderá descrever completamente o círculo (e n-gon) apenas pelos centros dos pinos . Farei o meu melhor para fazer as fórmulas matemáticas de maneira legível com o texto, mas descreverei completamente cada um dos quatro círculos / n-gons:

Deixei:

n = número de dentes

L = passo da corrente (comprimento do elo) (12,7 mm para a maioria das bicicletas)

Veja abaixo as medições de vale, rolo superior e parte superior do dente. Note-se que topos de dente pode variar entre fabricantes e irá variar ao longo da vida do anel. O método alternativo na parte inferior é provavelmente o método mais fácil de usar para a folga do quadro.

Como você conhece o passo da corrente (1/2 "ou 12,7 mm é uma corrente da série 40 normalmente usada em uma bicicleta), os pinos da corrente formarão um n-gon regular (um polígono com n lados de comprimento igual) , com cada lado igual a 12,7 mm. A fórmula para o perímetro desse n-gon é bastante simples (abaixo) e seria adequada para a maioria das aproximações. Observe que também é igual ao comprimento da corrente que seria enrolada ao redor do anel (a corrente seguiria o n-gon, não o círculo).

Perímetro de n-gon feito por centros de pinos

Perímetro de n-gon = L * n = 12,7 * n mm

No entanto, isso não é totalmente preciso para descrever o círculo através dos centros dos pinos. As fórmulas mais precisas estão abaixo:

Circule pelos centros dos pinos

circunferência = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) mm

raio = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (raio central do pino)

diâmetro = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diâmetro central do pino)

Agora, precisaremos de informações adicionais para descrever os dois círculos / n-gons relacionados:

Para os pisos do vale e os topos dos rolos, precisamos saber o raio ou o diâmetro do rolo da corrente ao redor do pino. De acordo com http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , uma corrente da série 40 tem um diâmetro de rolo de 0,312 "(7,92 mm). Como a distância do centro dos pinos ao fundo do vale é o raio de o rolo:

Círculo / n-gon sobre o fundo do vale

rRad = raio do rolo (3,96 mm para a maioria das bicicletas)

Perímetro de n-gon do vale = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sen (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Círculo / n-gon das partes superiores dos rolos de corrente

Perímetro de n-gon de topos de rolos = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sen (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Agora, para o círculo final / n-gon descrever, precisamos da altura do dente acima dos centros dos pinos. Eu esperaria que isso fosse positivo em um novo anel de corrente e negativo em um anel desgastado:

Círculo / n-gon das pontas dos dentes

t = altura da ponta do dente acima dos centros dos pinos (negativo se abaixo)

Perímetro de n-gon das pontas dos dentes = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Como alternativa, para tornar esse cálculo um pouco mais fácil (ainda que um pouco menos preciso em um anel de corrente desgastado), você pode medir seu espaçamento individual dos dentes. Idealmente, eles seriam um pouco mais longos que o passo da corrente, mas isso mudará à medida que a corrente se desgasta:

Círculo / n-gon das pontas dos dentes - Alternativo

tSpacing = distância média entre as pontas dos dentes

Perímetro de n-gon das pontas dos dentes = n * t

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

EDITAR:

Eu postei esta pergunta em math.se , e obteve uma resposta interessante , que basicamente confirma resposta Lantius' como o modelo matemático mais preciso, eo meu como uma aproximação prática para o mundo de bicicleta.

Com apenas o número de dentes, não.

Porém, dado o número de dentes e o espaçamento necessário de ponta a ponta de cada dente para corresponder à corrente da marca de anel de corrente usada, você pode determinar facilmente a circunferência.

Com a circunferência, é simples calcular o diâmetro.

Divida o diâmetro por Pi (3,14159 até a 5ª casa decimal)

C = D / 3,14159

Portanto, se o número de dentes for 53 e o espaçamento for 12,75 mm, teremos uma circunferência de 675,75 milímetros.

675,75 milímetros dividido por 3,14159 fornece um diâmetro de 215,1 milímetros. Convertido e arredondado para 2 lugares, é 8,46 polegadas.

Eu medi o diâmetro de um anel de corrente Shimano de 53 dentes e tem 8,51 polegadas. Portanto, acredito que minha matemática deve ser tão precisa quanto as tolerâncias em minhas medidas.