Um rei e um cavaleiro podem forçar um impasse contra um rei solitário?

Acredito que um rei e dois cavaleiros são capazes de forçar um impasse contra um rei solitário (embora obviamente não seja xeque-mate) ... mas e um rei e um cavaleiro contra um rei solitário?

Primeiro pensei que forçar um impasse seria impossível. Então, montei uma posição aleatória com King + Knight vs King, onde o rei solitário estava no limite do tabuleiro, e tentei analisá-lo.

O resultado: as brancas podem forçar um impasse! O truque é a jogada 3. Kd2 !!

Isso não prova que um rei e um cavaleiro sempre podem forçar um impasse contra um rei solitário, mas pelo menos mostra que não é completamente inconcebível que o rei + cavaleiro possa forçar o impasse.

Obviamente, não quero uma resposta "sim / não" sem nenhuma evidência para apoiá-la. Eu gostaria de uma prova irrefutável ou pelo menos alguma evidência muito forte.

Uma idéia é criar uma base de tabela de final de jogo que leve em consideração o impasse como uma vitória, o que equivale a dizer que as brancas vencem quando capturam o rei das pretas. Seria necessário apenas 64x63x62 = 249984 posições.

Uma segunda idéia seria obter um mecanismo básico e modificar seu código para que ele levasse em conta o impasse como uma vitória, e você provavelmente também pode jogar fora a maior parte do código do mecanismo para fazê-lo calcular mais rapidamente. Em seguida, faça-o calcular King + Knight vs King em algumas posições em que o rei solitário começa na borda do tabuleiro (mas não muito perto de um canto). Mas essa ideia seria menos convincente do que a base da mesa.

Uma pesquisa exaustiva por computador mostra que, como esperado, o K + N geralmente não pode forçar o impasse contra um K. solitário.

De fato, o rei defensor pode evitar o impasse, desde que não esteja em um dos bairros triangulares de seis quadrados dos cantos mostrados no diagrama a seguir

mesmo na extremidade longa de cada triângulo (os doze Reis Brancos no diagrama), o impasse só pode ser forçado em algumas posições especiais. Ou seja, Kb2 para mover pode ser impedido pela força apenas a partir desta posição

e sua reflexão sobre a diagonal a1-h8; e Ka3 para se mover é estagnado somente se estiver enfrentando um Kc3 e um Cavaleiro em um dos quadrados b2, c5, b6 que controlam a4 (o primeiro deles surge no início do empate em 9 mostrado por Petrosian ).

Segue-se também que cada uma dessas quatro posições é mútua Zugzwang: o zagueiro é impedido pela força apenas se em movimento. Existem poucos Zugzwangs suficientes (até simetrias de placa) para listar todos eles. Uma é a posição de perda única de comprimento máximo:

Mais dois são obtidos movendo os reis de b1 / d1 para a1 / c1 ou a2 / c2. Finalmente, Ka2 contra Kc2 e Nb1 (b5) são os zugwangs mútuos mais curtos.

Como sugeriu Glorfindel , algumas dessas posições são relevantes para o final de Troitzky KNN / KP. Por exemplo, este é um Zugzwang mútuo (no sentido usual de vencer uma BTM e empatar WTM), assim como cada uma das três posições da BTM na linha principal 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

A pergunta se rei e cavaleiro contra o rei por si só pode forçar um impasse é bastante teórica. Na prática, é sempre um empate, pois o rei e o cavaleiro são incapazes de acasalar o rei sozinho.

O impasse não pode ser forçado. Isso só pode ser alcançado quando o rei está sozinho em um dos cantos; portanto, o rei deve ajudar: