Acredito que as peças de xadrez deveriam constituir um exército - tentarei explicar como cada nome individual evoluiu.
Xianqi , ou xadrez chinês, originalmente desenvolvido na Índia antes de se espalhar pelo mundo. Xianqi é a interpretação chinesa do jogo antigo, e as peças realmente parecem aquelas que seriam de um exército - General, Conselheiro, Canhão, Elefante, Cavalos, Soldados e Carruagens.
Quando o jogo foi para a Pérsia, conforme mencionado pelo usuário Akavall nos comentários, a palavra persa para carruagem é "rokh" e é naturalmente o que a peça é chamada hoje.
A interpretação moderna do xadrez tem suas raízes na Espanha, onde ocorreu uma das transformações finais. A peça geral tornou-se o rei e o conselheiro tornou-se a rainha, pois essas posições eram mais familiares no ambiente ocidental. Os cavalos se tornaram cavaleiros e o elefante se tornou um bispo (suponho que isso tenha sido influenciado pelo poder da Igreja durante essa época). Os soldados ficaram conhecidos como peões (do poun anglo-francês ou peão francês antigo).
Se você quiser ler mais sobre isso, este link pode explicar melhor do que eu: Como as peças de xadrez receberam seus nomes?