Pela sua descrição, não tenho certeza se em seus jogos de infância o tipo de movimento duplo que você mostrou acima só poderia acontecer naquele ponto do jogo ou poderia continuar a acontecer. Portanto, não tenho muito a dizer, mas há pelo menos uma variante de xadrez estabelecida (datada do início do século 20) na qual a sequência de movimentos indicada pode ocorrer legalmente.
O jogo é (equilibrado) Marseillais Chess , no qual as brancas começam com um único movimento, mas cada lado alterna, fazendo dois movimentos sucessivos a partir desse ponto. Na (essencialmente) notação usada nesse link, sua posição surgiria após
1.e4
1.b6; g6
Além do fato de que cada lado faz dois movimentos, as regras são essencialmente as regras normais do xadrez. É claro que existem algumas mudanças necessárias, por exemplo, se o seu primeiro passo é um cheque, você não recebe um segundo. Siga o link para obter detalhes completos e um pouco de história.