Um gráfico gracioso é um tipo de gráfico simples . Gráficos graciosos são especiais porque existe uma maneira de rotular todos os seus nós com números inteiros positivos, de modo que quando as arestas também são rotuladas com as diferenças dos nós que conectam, não há duas arestas com o mesmo rótulo e todos os rótulos até o número de arestas é usado.

Exemplo elaborado

Aqui está um gráfico simples que suspeitamos ser um gráfico gracioso

Vamos tentar a seguinte rotulagem:

Observe que temos permissão para pular números inteiros na rotulagem de nós. Agora, rotulamos cada extremidade com a diferença positiva entre os nós que conectam. Para maior visibilidade, eu os rotulei em vermelho.

Cada aresta tem um número único e nenhum número entre 1 e 7 (o número de arestas que temos) é deixado de fora. Assim, nosso gráfico é gracioso.

Tarefa

Dado um gráfico, através de qualquer método razoável de entrada, produza um valor verdadeiro, se for gracioso e, caso contrário, um valor falso.

Isso é código-golfe, então o objetivo é minimizar a contagem de bytes.

Casos de teste

Aqui os gráficos são representados como uma matriz de arestas:

3 nodes:

[(0,1),(0,2),(1,2)]

True

Labeling:

Node 0 -> 0
Node 1 -> 2
Node 2 -> 3

5 nodes:

[(0,1),(0,4),(1,2),(2,3),(3,4)]

False

5 nodes:

[(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)]

True

Labeling:

Node 0 -> 0
Node 1 -> 1
Node 2 -> 3
Node 3 -> 6
Node 4 -> 10

9 nodes

[(0,1),(1,2),(1,7),(1,8),(2,3),(2,6),(3,4),(4,5)]

True

Labeling:

Node 0 -> 0
Node 1 -> 1
Node 2 -> 3
Node 3 -> 6
Node 4 -> 10
Node 5 -> 15
Node 6 -> 11
Node 7 -> 7
Node 8 -> 8

5 nodes

[(0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(1,4),(3,4)]

False

Jelly , 12 bytes

FSŒ!ị@€ḅ-AċJ

Toma uma matriz de arestas como pares de nós indexados em 1.

Experimente online! (Horrendamente ineficiente. Não se preocupe com os casos de teste reais.)

Como funciona

FSŒ!ị@€ḅ-AċJ  Main link. Argument: A (array of pairs)

FS            Flatten and sum, yielding s. This is an upper bound for the labels
              a graceful labeling (if one exists) would require.
  Œ!          Take all permutations of [1, ..., s].
      €       For each permutation P:
    ị@          Replace each integer in A with the element of P at that index.
       ḅ-     Convert all pairs from base -1 to integer, mapping (a,b) to b-a.
         A    Take absolute values.
           J  Yield the indices of A, i.e., [1, ..., len(A)].
          ċ   Count the occurrences of [1, ..., len(A)] in the result to the left.

Mathematica, 121 116 bytes

Editar: salvou 5 bytes graças a JungHwan Min e Martin Ender

Cases[Range[1+Tr[n=Range@Length[e=EdgeList@#]]]~Tuples~VertexCount@#,w_/;Sort[Abs[#-#2]&@@w[[List@@#]]&/@e]==n]!={}&

Explicação

Função pura que pega um Graphobjeto Mathematica com vértices {1, 2, ..., k}para algum número inteiro não negativo k. Na pior das hipóteses, precisaremos apenas de rótulos de vértices que variam de 1a 1 + (1 + 2 + ... EdgeCount@#). Como nos salva alguns bytes depois, deixaremos ea lista de arestas e na lista {1, 2, ..., EdgeCount@#}, de modo que os pesos dos vértices serão retirados Range[1+Tr[n=Range@Length[e=EdgeList@#]]]. Geramos uma lista de todos os Tuplescomprimentos VertexCount@#, depois escolhemos as Casesque fornecem rotulagem discreta e verificamos se o resultado está Unequalna lista vazia {}. A graciosidade da lista de pesos de vértices wé verificada Mapexecutando ping na função Abs[#-#2]&@@w[[List@@#]]&sobre a lista de arestas e,Sort incluindo o resultado e verificando se o resultado éEqualpara n. Aqui está um detalhamento dessa função:

               List@@#     Replace the Head of the edge with List; i.e., UndirectedEdge[a,b] becomes {a,b}.
            w[[       ]]&  Select the corresponding vertex weights from the list w.
          @@               Replace the Head of that expression (List) with the function
Abs[#-#2]&                   which returns the absolute difference between its first two arguments.
                           This effectively passes the vertex weights into the absolute difference function.