Você provavelmente já ouviu falar dos números de Fibonacci ; Eles são bem famosos. Cada número na sequência de Fibonacci é a soma dos dois últimos na sequência, com o primeiro e o segundo números sendo 1. A sequência é assim:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 32951280099 53316291173 86267571272 139583862445 225851433717 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842 10610209857723 17167680177565 27777890035288 44945570212853 72723460248141 117669030460994 190392490709135 308061521170129 498454011879264 806515533049393 1304969544928657 2111485077978050 3416454622906707 5527939700884757 8944394323791464 14472334024676221 23416728348467685 37889062373143906 61305790721611591 99194853094755497 160500643816367088 259695496911122585 420196140727489673 679891637638612258 1100087778366101931 1779979416004714189 2880067194370816120 4660046610375530309 7540113804746346429 12200160415121876738 19740274219868223167 31940434634990099905 51680708854858323072 83621143489848422977 135301852344706746049 218922995834555169026 354224848179261915075 573147844013817084101 927372692193078999176 1500520536206896083277 2427893228399975082453 3928413764606871165730 6356306993006846248183 10284720757613717413913 16641027750620563662096 26925748508234281076009 43566776258854844738105 70492524767089125814114 114059301025943970552219 184551825793033096366333 298611126818977066918552 483162952612010163284885 781774079430987230203437 1264937032042997393488322 

Da mesma forma, as seqüências de Lucas são o resultado da substituição do arbitrário 1 1que inicia a sequência de Fibonacci por quaisquer dois números inteiros arbitrários. Além disso, diferentemente da sequência de Fibonacci, as seqüências de Lucas também retrocedem infinitamente. Por exemplo, 1 1não apenas gera todos os números na sequência de Fibonacci, mas todos os números que levariam a ela:

... 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 ... 

O Kernel de uma sequência de Lucas é o mais próximo dos dois membros consecutivos da sequência. Por exemplo, o Kernel da sequência Fibonacci é 1 1porque eles estão 0 separados e, portanto, devem ser os dois números mais próximos.

O tamanho do Kernel é medido como a diferença absoluta entre os dois membros do Kernel.

Como cada par de números é gerado por pelo menos uma Lucas Sequence e cada sequência possui um Kernel exclusivo, para cada par de números existe um conjunto de Kernels que os gera. O menor Lucas Kernel é o menor que gera dois números.

Por exemplo, pegue 8 e 21.

Aqui estão algumas sequências que possuem 8 e 21:

... 1 1 2 3 5 8 13 21 ...
... 18 -5 13 8 21 29 50 79 ...
... 21 -13 8 -5 3 -2 1 -1 0 -1 -1 ...
... 34 -13 21 8 29 37 68 ...

Agora, se encontrarmos os Kernels de cada uma dessas seqüências, obteremos:

1 1
13 8
-1 -1
29 37

Os menores núcleos são 1 1e -1 -1(eles estão empatados). Podemos saber isso sem verificar outras seqüências, porque elas são do tamanho 0 e é impossível encontrar Kernels menores que o tamanho 0.

Tarefa

Dado dois números inteiros, determine o menor Lucas Kernel que os gera.

Esta é uma questão de código-golfe, portanto, o objetivo é escrever o código que executa essa tarefa no menor número de bytes possível.

Os formatos padrão de entrada e saída são aceitos e aplicados. Você deve lidar com números negativos.

Nos casos em que existem várias soluções válidas, você precisa apenas produzir uma

Casos de teste

8   21 -> 1   1
137 66 -> 66  67
45  80 -> 43  45
-6  45 -> 39  45
37 149 -> 18  19
37  97 -> -2  -3

Python 2, 444 391 372 bytes

^{O riscado 444 ainda é regular 444; (}

Muito obrigado a @Dennis por um enorme -52 -71 bytes!

k=lambda c,a,b:abs(a+c*a-c*b)-c<abs(b-a)>0and k(c,b-c*a,a+b-c*b)or(a,b)
def f(*t):
 a,b=sorted(t);m=b-a+1,0;g=lambda _:min([k(1,*k(0,*s)),m][_!=b:],key=lambda(x,y):abs(x-y))
 if b<0:x,y=f(-a,-b);return-x,-y
 for c in range(-b,b+1):
    for s in(c,a),(a,c):
     x,y=s
     if min(s)>0:
        while y<b:x,y=y,x+y
        m=g(y)
     x,y=s
     while(x!=b)&((x>b)^(b>0)):x,y=y-x,x
     m=g(x)
 return m

Experimente online!

A solução pode ser executada chamando f(a, b)os dois números inteiros de entrada. É baseado na ideia de que, se ambos ae bestiverem dentro de pelo menos uma da mesma sequência (onde ae bforem ordenados de antemão de tal modo a ≤ b), segue-se que há pelo menos um número inteiro cequivalente a um valor adjacente aem uma sequência compartilhada de ae bpara o qual a sequência gerada ae ccontém bnela.

Além disso, se pelo menos um dos dois números inteiros for positivo, todos os valores de cdeverão ser limitados por, -b ≤ c ≤ bpara que seja possível gerar o valor de bambos os lados do par inicial. Portanto, a solução simplesmente força valores brutos de centre -be bque, em combinação com, asão capazes de gerar bdentro da sequência e encontra aquele para o qual a diferença dos valores do kernel é ae cé mínima (isso é possível porque encontrar o kernel por dois números adjacentes em uma sequência é trivial).

Se nem anem bé positivo, a solução simplesmente nega os dois e retorna o negativo do kernel gerado para o par negado.