Python 2.7
Essa abordagem aproveita as seguintes considerações:
Qualquer número inteiro pode ser representado como uma soma de potências de dois. Os expoentes nas potências de dois também podem ser representados como potências de dois. Por exemplo:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
Essas expressões com as quais terminamos podem ser representadas como conjuntos de conjuntos (em Python, usei o built-in frozenset):
0torna-se o conjunto vazio {}.2^atorna-se o conjunto que contém o conjunto que representa a. Por exemplo: 1 = 2^0 -> {{}}e 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}.a+btorna-se a concatenação dos conjuntos que representam ae b. Por exemplo,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
Acontece que expressões do formulário 2^2^...^2podem ser facilmente transformadas em sua representação de conjunto exclusiva, mesmo quando o valor numérico é muito grande para ser armazenado como um número inteiro.
Pois n=20, isso é executado em 8.7s no CPython 2.7.5 na minha máquina (um pouco mais lento no Python 3 e muito mais lento no PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(O conceito do decorador de memoização é copiado de http://code.activestate.com/recipes/578231-probably-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ .)
Resultado:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
Horários para diferentes n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
Qualquer um nacima de 21 resulta em um erro de memória na minha máquina.
Eu estaria interessado se alguém puder tornar isso mais rápido traduzindo-o para um idioma diferente.
Editar: otimizou a get_resultsfunção. Além disso, o uso do Python 2.7.5 em vez do 2.7.2 fez com que fosse executado um pouco mais rápido.
2^ne, portanto, seria desnecessário acompanhar qualquer coisa, exceton. Ou seja, apenas usar as regras da exponenciação parece sábio. No entanto, certamente existe uma maneira mais inteligente e completamente algébrica de fazer isso.