Nesse desafio, você receberá uma matriz quadrada A, um vetor ve um escalar λ. Você será solicitado a determinar se (λ, v)um par próprio corresponde a A; isto é, seja ou não Av = λv.

Produto Dot

O produto escalar de dois vetores é a soma da multiplicação por elementos. Por exemplo, o produto escalar dos dois vetores a seguir é:

(1, 2, 3) * (4, 5, 6) = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

Observe que o produto escalar é definido apenas entre dois vetores do mesmo comprimento.

Multiplicação matriz-vetor

Uma matriz é uma grade de valores 2D. Uma matriz mx ntem mlinhas e ncolunas. Podemos imaginar uma matriz mx ncomo mvetores de comprimento n(se pegarmos as linhas).

A multiplicação de vetor de matriz é definida entre uma matriz mx ne um nvetor de tamanho . Se multiplicarmos uma matriz mx ne um nvetor de tamanho , obteremos um mvetor de tamanho . O i-ésimo valor no vetor de resultado é o produto escalar da i-a linha da matriz e o vetor original.

Exemplo

        1 2 3 4 5
Let A = 3 4 5 6 7
        5 6 7 8 9

        1
        3
Let v = 5
        7
        9

Se multiplicarmos a matriz e o vetor Av = x, obtemos o seguinte:

x ₁ = A ^T ₁ * v /* AT1 means the first row of A; A1 would be the first column */= (1,2,3,4,5) * (1,3,5,7,9) = 1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 = 1 + 6 + 15 + 28 + 45 = 95

x ₂ = A ^T ₂ * v = (3,4,5,6,7) * (1,3,5,7,9) = 3 * 1 + 4 * 3 + 5 * 5 + 6 * 7 + 7 * 9 = 3 + 12 + 25 + 42 + 63 = 145

x ₃ = A ^T ₃ * v = (5,6,7,8,9) * (1,3,5,7,9) = 5 * 1 + 6 * 3 + 7 * 5 + 8 * 7 + 9 * 9 = 5 + 18 + 35 + 56 + 81 = 195

Então, nós chegamos Av = x = (95, 145, 195).

Multiplicação escalar

A multiplicação de um escalar (um único número) e um vetor é simplesmente multiplicação por elementos. Por exemplo 3 * (1, 2, 3) = (3, 6, 9),. É bastante direto.

Autovalores e autovetores

Dada a matriz A, dizemos que λé um valor próprio correspondente ao ve vé um autovetor correspondente a λ se e somente se Av = λv . (Onde Avé a multiplicação de vetores matriciais e multiplicação λvescalar).

(λ, v) é um par próprio.

Especificações do Desafio

Entrada

A entrada consistirá em uma matriz, um vetor e um escalar. Elas podem ser obtidas em qualquer ordem, em qualquer formato razoável.

Saída

A saída será um valor verdadeiro / falso; na verdade, se e somente se o escalar e o vetor forem um par próprio com a matriz especificada.

Regras

• Aplicam-se brechas padrão
• Se houver um built-in para verificar um par próprio no seu idioma, você não poderá usá-lo.
• Você pode assumir que todos os números são inteiros

Casos de teste

 MATRIX  VECTOR  EIGENVALUE
 2 -3 -1    3
 1 -2 -1    1    1    ->    TRUE
 1 -3  0    0

 2 -3 -1    1
 1 -2 -1    1    -2   ->    TRUE
 1 -3  0    1

 1  6  3    1
 0 -2  0    0    4    ->    TRUE
 3  6  1    1

 1  0 -1    2
-1  1  1    1    7    ->    FALSE
 1  0  0    0

-4 3    1    
 2 1    2    2    ->    TRUE

2    1    2    ->    TRUE

Vou adicionar um 4x4 mais tarde.

Casos de teste ilegíveis que são mais fáceis para testar

Geléia , 5 bytes

æ.⁵⁼×

Este é um programa triádico e completo.

Experimente online!

Como funciona

æ.⁵⁼×  Main link
       Left argument:  v (eigenvector)
       Right argument: λ (eigenvalue)
       Third argument: A (matrix)

  ⁵    Third; yield A.
æ.     Take the dot product of v and A, yielding Av.
    ×  Multiply v and λ component by component, yielding λv.
   ⁼   Test the results to the left and to the right for equality.

Mathematica, 10 bytes

#2.#==#3#&

Toma entrada como {vector, matrix, scalar}e retorna um booleano.

MATL, 7 bytes

*i2GY*=

Entradas na ordem: l, v, A.

Explicação:

*  % implicitly get l and v, multiply.
i  % get A
2G % get second input, i.e., v again
Y* % perform matrix multiplication
=  % test equality of both multiplications

Resposta surpreendentemente longa, se você me perguntar, principalmente porque eu precisava de uma maneira de obter todas as informações corretamente. Eu não acho que menos de 5 bytes seja possível, mas seria legal se alguém encontrasse uma solução de 5 ou 6 bytes.

Basicamente, isso calcula l*v==A*v.

CJam , 15 bytes

q~W$f.*::+@@f*=

Recebe entrada no formulário vector scalar matrix.

Experimente online!

Explicação

q~               e# Read and eval the input
  W$             e# Copy the bottom most value (the vector)
    f.*::+       e# Perform element-wise multiplication with each row of the matrix, then
                 e#   sum the results of each (ie dot product with each row) 
          @@     e# Move the resulting vector to the bottom of the stack
            f*   e# Element-wise multiplication of the scalar and the vector
              =  e# Check if the two vectors are equal

MATLAB, 16 bytes

@(A,v,l)A*v==v*l

Resposta bastante trivial. Define uma função anônima que recebe as entradas e calcula a igualdade entre elementos dos vetores resultantes. Um único zero em uma matriz lógica faz com que uma matriz falsey no MATLAB.

MATLAB, 38 bytes

function r=f(m,v,s);r=isequal(m*v,s*v)

Retorna 1 ou 0.

MATLAB, 30 bytes

function r=f(m,v,s);r=m*v==s*v

Devoluções

1
1
1

como um valor verdadeiro. Um valor falso é um vetor semelhante com qualquer ou todos os valores 0 em vez de 1.

C ++, 225 203 bytes

Agradecemos a @Cort Ammon e @Julian Wolf por salvar 22 bytes!

#import<vector>
#define F(v,i)for(i=0;i<v.size();++i)
using V=std::vector<float>;int f(std::vector<V>m,V v,float s){V p;int i,j;F(m,i){p.push_back(0);F(v,j)p[i]+=v[j]*m[i][j];}F(v,i)v[i]*=s;return v==p;}

Experimente online!

Julia, 17 bytes

(a,b,c)->a*b==b*c

Experimente online!

Python 2.7, 33 bytes

f=lambda m,s,e:all(m.dot(s)==e*s)

entrada: m = matriz, s = escalar, e = valor próprio. M e s são matrizes numpy

Python 3 , 96 70 bytes

Não há componentes integrados para multiplicação de vetores matriciais ou escalares!

lambda A,L,v:all(L*y==sum(i*j for i,j in zip(x,v))for x,y in zip(A,v))

Experimente online!

-26 bytes usando zipgraças a @LeakyNun!

05AB1E , 11 bytes

vy²*O})²³*Q

Experimente online!

vy²*O})     # Vectorized product-sum.
       ²³*  # Vector * scalar.
          Q # Equivalence.

R, 30 25 bytes

s=pryr::f(all(a%*%v==λ*v))

Função anônima, bastante direta. Retorna TRUEou FALSE.

OK, 12 bytes

{y~z%+/y*+x}

Esta é uma função que absorve [matrix;vector;scalar].

Isso não funciona em k pelas mesmas razões que 3.0~3dá 0como resultado.

O seguinte funciona em k , com 14 bytes :

{(y*z)~+/y*+x}

Axioma, 27 bytes

f(a,b,c)==(a*b=c*b)@Boolean

exercícios

(17) -> m:=matrix[[2,-3,-1],[1,-2,-1],[1,-3,0] ]; v:=matrix[[3],[1],[0]];
(18) -> f(m,v,1)
   (18)  true

(19) -> m:=matrix[[2,-3,-1],[1,-2,-1],[1,-3,0] ]; v:=matrix[[1],[1],[1]];
(20) -> f(m,v,-2)
   (20)  true

(21) -> m:=matrix[[1,6,3],[0,-2,0],[3,6,1] ]; v:=matrix[[1],[0],[1]];
(22) -> f(m,v,4)
   (22)  true

(23) -> m:=matrix[[1,0,-1],[-1,1,1],[1,0,0] ]; v:=matrix[[2],[1],[0]];
(24) -> f(m,v,7)
   (24)  false

(25) -> m:=matrix[[-4,3],[2,1] ]; v:=matrix[[1],[2]];
(26) -> f(m,v,2)
   (26)  true

(27) -> f(2,1,2)
   (27)  true

Python, 26 bytes

lambda a,b,c:c*b==a.dot(b)

ae bsão matrizes numpy, cé um número inteiro.

Experimente online!

Clojure, 60 bytes

#(=(set(map(fn[a v](apply -(* v %3)(map * a %2)))% %2))#{0})

Isso verifica se todos os deltas são zero, colapsando no conjunto de zero. Exemplo de chamada:

(def f #(=(set(map(fn[a v](apply -(* v %3)(map * a %2)))% %2))#{0}))
(f [[1 6 3][0 -2 0][3 6 1]] [1 0 1] 4)