Gostaríamos de fatorar um semiprime . O objetivo deste desafio é encontrar dois pequenos números inteiros e tais que pode ser trivialmente fatorado com o método de Fermat, permitindo assim a deduzir facilmente os fatores de . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

A tarefa

Dado um semiprime e um número inteiro positivo , definimos e como: $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Etapa # 1 - Encontre $k$

Primeiro, você precisa encontrar o menor valor possível de , para que seja um número quadrado ( também conhecido como quadrado perfeito). $k$ $y$

Isso permite fatorar com uma única iteração do método de fatoração de Fermat . Mais concretamente, isso imediatamente leva a: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Atualização: esta sequência agora é publicada como A316780 )

Etapa 2 - Fatorar $k$

Você precisa encontrar os dois números inteiros positivos $u$ e $v$ modo que:

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

em que $c$ e $d$ são os factores primários de $N$ .

Sumário

Sua tarefa é escrever um programa ou função que aceite como entrada e imprima ou produz e em qualquer ordem e formato razoável. $N$ $u$ $v$

Exemplo

Vamos considerar $N = 199163$

Passo 1

O menor valor possível de é , o que fornece: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Passo 2

A fatoração correta de é , porque: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Portanto, a resposta correta seria ou . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Regras

Não é necessário aplicar estritamente as duas etapas descritas acima. Você é livre para usar qualquer outro método, desde que encontre os valores corretos de e . $u$ $v$
Você deve suportar todos os valores de até o tamanho máximo nativo de um número inteiro não assinado em seu idioma. $uvN$
A entrada é garantida como semiprime.
Isso é código-golfe, então a resposta mais curta em bytes vence.
As brechas padrão são proibidas.

Casos de teste

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Implementação de exemplo

No trecho de código abaixo, a função é uma implementação não-bloqueada que recebe como entrada e retorna e . $f$ $N$ $u$ $v$

Apenas para fins ilustrativos, o trecho de código também inclui a função que recebe , e como entrada e calcula os fatores de em . $g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Mostrar snippet de código

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Expandir snippet

code-golf number-theory primes

— Arnauld
fonte

Temos a garantia de que a entrada Nserá de fato um semiprime?

— Greg Martin

@GregMartin Sim, você é.

— Arnauld

8

Mathematica, 81 79 bytes

Agradecemos a Martin Ender por economizar 2 bytes!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Função pura tomando um semiprime como entrada e retornando um par ordenado de números inteiros positivos. O Forloop implementa o procedimento exato descrito na pergunta (usando #para a entrada no lugar de n), com xcomo definido lá, embora armazenemos em j = k*nvez de ksi e em z=Sqrt[y]vez de ysi mesmo. Também calculamos p={x+z,x-z}dentro do Forloop, que acaba economizando um byte (como na sétima tentativa). Então os dois fatores desejados são (x+z)/GCD[#,x+z]e (x-z)/GCD[#,x-z], que a expressão concisa p/#~GCD~pcalcula diretamente como um par ordenado.

Curiosidades: queremos fazer um loop até que zseja um número inteiro; mas como Ceilingjá usaremos no código, ele economiza dois bytes !IntegerQ@zpara definir c=Ceiling(que custa quatro bytes, como sabem os jogadores do Mathematica) e depois testar se c@z>z. Temos que inicializar zpara algo, e é melhor que algo não seja um número inteiro para que o loop possa iniciar; felizmente, Eé uma escolha concisa.

— Greg Martin
fonte

4

JavaScript (ES7), 86 81 bytes

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Editar: salvou 4 bytes graças a @Arnauld.

— Neil
fonte

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 bytes

-1 byte graças a Neil e -3 bytes graças a ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Experimente Online!

Curiosidades:

pé inicializado para .5que a condição do loop seja verdadeira na primeira iteração. Observe que é mais curto armazenar p(como x+ sqrt(y)) do que armazenar cada um xe yseparadamente.

— viciado em matemática
fonte

x*xem vez de x**2?

— 194 Neil

@ Neil Sim, é claro. Graças

— matemática viciado em

1

Axioma, 131 115 bytes

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

A função que resolveria a questão é r (n) acima. ungolf e teste

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
fonte

Auxiliar de fatoração de Fermat