Encontre raízes reais de um polinômio

Escreva um programa independente que, ao receber um polinômio e um limite, encontre todas as raízes reais desse polinômio em um erro absoluto que não exceda o limite.

Restrições

Eu sei que o Mathematica e provavelmente algumas outras línguas têm uma solução de um símbolo, e isso é chato, então você deve se ater às operações primitivas (adição, subtração, multiplicação, divisão).

Há certa flexibilidade nos formatos de entrada e saída. Você pode receber informações via stdin ou argumentos da linha de comando em qualquer formato razoável. Você pode permitir ponto flutuante ou exigir que alguma representação de números racionais seja usada. Você pode pegar o limite ou o recíproco do limite e, se estiver usando ponto flutuante, pode assumir que o limite não será menor que 2 ulp. O polinômio deve ser expresso como uma lista de coeficientes monomiais, mas pode ser grande ou pequeno endiano.

Você deve ser capaz de justificar por que seu programa sempre funcionará (problemas numéricos de módulo), embora não seja necessário fornecer provas completas em linha.

O programa deve lidar com polinômios com raízes repetidas.

Exemplo

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

A entrada pode ser, por exemplo,

-2 0 1 0.01
100 1 0 -2
1/100 ; x^2-2

A saída pode ser, por exemplo,

-1.41 1.42

mas não

-1.40 1.40

como isso tem erros absolutos de cerca de 0,014 ...

Casos de teste

Simples:

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

x^4 + 0.81 x^2 - 0.47 x + 0.06 (error bound 10^-6)

Raiz múltipla:

x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27 (error bound 10^-6)

Polinômio de Wilkinson:

x^20 - 210 x^19 + 20615 x^18 - 1256850 x^17 + 53327946 x^16 -1672280820 x^15 +
    40171771630 x^14 - 756111184500 x^13 + 11310276995381 x^12 - 135585182899530 x^11 +
    1307535010540395 x^10 - 10142299865511450 x^9 + 63030812099294896 x^8 -
    311333643161390640 x^7 + 1206647803780373360 x^6 -3599979517947607200 x^5 +
    8037811822645051776 x^4 - 12870931245150988800 x^3 + 13803759753640704000 x^2 -
    8752948036761600000 x + 2432902008176640000  (error bound 2^-32)

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Mathematica, 223

r[p_,t_]:=Module[{l},l=Exponent[p[x],x];Re@Select[NestWhile[Table[#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}],{i,l}]&,Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}],2*Max[Table[Abs[#1[[i]]-#2[[i]]],{i,l}]]>t&,2],Abs[Im[#]]<t^.5&]]

Esta solução implementa o método Durand-Kerner para resolver polinômios. Observe que essa não é uma solução completa (como será mostrado abaixo) porque ainda não consigo lidar com o polinômio de Wilkinson com a precisão especificada. Primeiro, uma explicação do que estou fazendo:

#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}]&: Assim, a função calcula para cada índice ia próxima aproximação de Durand-Kerner. Em seguida, essa linha é encapsulada em uma tabela e aplicada usando um NestWhile aos pontos de entrada gerados por Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}]. A condição no NestWhile é que a alteração máxima (em todos os termos) de uma iteração para a próxima seja maior que a precisão especificada. Quando todos os termos mudaram menos que isso, o NestWhile termina e Re@Selectremove os zeros que não caem na linha real.

Exemplo de saída:

> p[x_] := x^2 - 2
> r[p, .01]
{1.41421, -1.41421}

> p[x_] := x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27
> r[p, 10^-6]
{2.99999, 3., 3.00001, -1.}

> p[x_] := x^20 - 210 x^19 + ... + 2432902008176640000 (Wilkinson's)
> Sort[r[p, 2^-32]]
{1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.00001, 7.99994, 9.00018, 10.0002, 11.0007, \
11.9809, 13.0043, 14.0227, 14.9878, 16.0158, 16.9959, 17.9992, \
19.0001, 20.}

Como você provavelmente pode ver, quando o grau aumenta, esse método começa a ricochetear nos valores corretos, nunca realmente chegando completamente. Se eu definir a condição de parada do meu código como algo mais rigoroso do que "de uma iteração para a próxima, as suposições mudaram em não mais do que epsilon", o algoritmo nunca para. Acho que devo usar Durand-Kerner como entrada para o método de Newton?