Dado um polinômio diferente de zero, com coeficientes e raízes inteiros que estão no imaginário e na linha real, de modo que, se afor uma raiz, o mesmo ocorre -a, retorne outro polinômio com as raízes giradas em 90 graus.

Detalhes

O polinômio pode ser dado em qualquer formato razoável, por exemplo, como uma lista de coeficientes. A condição de simetria que aé uma raiz se, e somente se, -afor uma raiz também impõe o polinômio girado para ter coeficientes inteiros reais também.

Exemplos

A seguir, os polinômios são apresentados como uma lista de coeficientes dos monômios em graus descendentes. (ou seja, a constante vem por último) O polinômio x^2-1tem raízes {1,-1}. Girando-os por 90°meio da multiplicação por i(a unidade imaginária), o polinômio de saída deve ter as raízes {i,-i}, o que é x^2 + 1.

Input / Output
[1 0 10 0 -127 0 -460 0 576]  [1 0 -10 0 -127 0 460 0 576]
[1 0 -4 0] [1 0 4 0]
[1] [1]

Mathematica, 10 bytes

Função pura que assume uma função de x e substitui em ix.

#/.x->I*x&

Alternativa com apenas 7 bytes, mas não tenho certeza se conta. Função pura que assume uma função pura e retorna uma função de x.

#[I*x]&

Gelatina , 5 bytes

Jı*Ċ×

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Como funciona

Multiplica o primeiro elemento por 1, o terceiro elemento por -1, etc.

Jı*Ċ×  argument: z
J      [1,2,...,len(z)]
 ı     i (the imaginary unit)
  *    to the power of (each element)
   Ċ   imaginary part
    ×  multiply by input (vectorize)

Prova de algoritmo

Seja o polinômio f(x).

Como temos a garantia de que se xé uma raiz, então é -x, portanto, fdeve ser par, o que significa que seu coeficiente para os poderes ímpares deve ser 0.

Agora, girar as raízes 90°é essencialmente f(ix).

Expandir e comparar coeficientes prova o algoritmo.

JavaScript (ES6), 25 bytes

a=>a.map((e,i)=>i%4?-e:e)

O polinômio original possui soluções da forma em x = ±aque se encontra a linha real ou imaginária. Exceto quando a = 0(nesse caso, xé um fator do polinômio), isso significa que x² - a²é um fator do polinômio (que significa que os termos alternativos são sempre zero). Agora, quando giramos as raízes, o fator muda para x² + a². Como todos os fatores mudam ao mesmo tempo, o terceiro termo do polinômio, que é a soma de todos os -a²termos, muda de sinal, o quinto termo, que é a soma dos produtos de pares de -a²termos, mantém o mesmo sinal, etc. alternando todos os outros termos.

Oitava , 27 bytes

@(x)round(poly(roots(x)*j))

Experimente online!

Isso se aplica diretamente à definição: calcular raízes, multiplicar por j, converter novamente de raízes em polinômio. Um arredondamento final é necessário devido a erros numéricos de ponto flutuante.

Python 3 , 42 bytes

f=lambda x,s=1:x and[0,x[0]*s]+f(x[2:],-s)

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SILOS , 71 66 bytes

readIO
b=i
lbla
readIO
d=c
d&2
i=i*(1-d)
printInt i
b-1
c+1
if b a

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Não faço ideia do que a @Leaky Nun de feitiçaria fez aqui para economizar 5 bytes.

Levei um segundo para descobrir, mas o segundo bit de C alternará como queremos. Portanto, o @Leaky Nun explorou isso para salvar os bits de que precisamos.

TI-Basic, 20 bytes

seq(real(i^X/i)Ans(X),X,1,dim(Ans

Se armazenado prgmA, execute com:

{1, 0, 3, 0, 1}:prgmA

seq(só tinha que ser o único comando * que não suporta números complexos. :)

_{*: Exagero}

Casio-Basic, 8 bytes

n|x=𝑖x

Função sem nome, usando a abordagem Mathematica de Ian Miller. O imaginário 𝑖 do teclado Math2 precisa ser usado (conta como 2 bytes, código de caractere 769), e o polinômio deve ser inserido como uma equação de x.

7 bytes para o código, 1 byte para especificar ncomo parâmetro.

Explicação : Pega a equação ne simplesmente substitui todas as instâncias de xpor 𝑖x.

Pari / GP , 16 bytes

p->x=I*x;eval(p)

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Stax , 5 bytes

Æ[]▐↨

Execute e depure online!

Resposta do porto da geléia.

Usa representação ASCII para explicar:

mih|1*
m         Map each element with rest of program, print mapped results on individual lines
 i        Current 0-based loop index
  h       Floor(i/2)
   |1     (-1)^(i/2)
     *    Multiply with current element

Se houver zeros à esquerda, eles precisam ser aparados primeiro e isso pode ser feito ao custo de outro byte.