Esta é uma questão bastante comum. Definirei uma sequência e você cria um código para gerar uma entrada com um índice.

• O primeiro item da sequência é 2.

• O enésimo item da sequência é o menor número inteiro positivo que não seja n e 1 que compartilhe pelo menos um fator com n (que não seja 1) que ainda não apareceu na lista.

Casos de teste

Aqui estão os primeiros 25 itens na sequência:

1  2
2  4
3  6
4  8
5  10
6  3
7  14
8  12
9  15
10 5
11 22
12 9
13 26
14 7
15 18
16 20
17 34
18 16
19 38
20 24
21 27
22 11
23 46
24 21
25 30

Relacionado (compensado por um) OEIS

Geléia , 19 bytes

R»2ɓ²Rg⁸>1Tḟ⁸ḟḢṭµ/Ṫ

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Python 3 , 118 117 bytes

^{-1 byte graças a Cameron Aavik !}

import math
def f(n,i=3):
 if n<2:return 2
 while 1:
  if math.gcd(n,i)>1>(i in map(f,range(n)))<i!=n:return i
  i+=1

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O código é bastante ineficiente (força bruta um valor que não existe nos resultados anteriores e calcula os resultados anteriores novamente em cada novo valor); portanto, funciona corretamente, mas eu não recomendaria executá-lo em grandes números.

Haskell , 60 59 bytes

EDITAR:

• -1 byte: @xnor apontou que all(/=x)era menor que x`notElem`.

f pega um número inteiro e retorna um número inteiro.

f n=[x|x<-[2..],gcd x n>1||n<2,all(/=x)$n:map f[1..n-1]]!!0

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Este é um tempo muito exponencial, então o TIO expira após 21, enquanto meu GHCi interpretado chegou a 22 antes que eu parasse agora. A seguinte versão mais longa de 9 bytes, memorizando em uma lista, chega facilmente aos milhares:

f n=[x|x<-[2..],gcd x n>1||n<2,all(/=x)$n:take(n-1)l]!!0
l=f<$>[1..]

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• f nusa uma compreensão de lista para gerar candidatos x, levando o primeiro passo com !!0.
• gcd x n>1verifica isso xe npossui fatores comuns.
• ||n<2isenta n==1do requisito fatorial.
• all(/=x)$n:map f[1..n-1]verifica que xnão é nnem um elemento de sequência anterior.

Sem built-in para GCD em C #, então ...

C # (.NET Core) , 197196194 bytes

n=>{if(n<2)return 2;var p=new int[n-1];int i=0,a,b;for(;i<n-1;)p[i]=f(++i);for(i=2;;i++)if(n!=i){for(a=n,b=i;a*b>0;)if(a>b)a%=b;else b%=a;if(b!=1&a!=1&!System.Array.Exists(p,e=>e==i))return i;}}

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Mais uma vez, evite usar esse código para calcular números na sequência de n>30...

• -1 byte, alterando o whileloop GCD para um forloop.
• -2 bytes graças a Kevin Cruijssen! Agradável!

APL (Dyalog) , 46 bytes

{⍺←2⋄1=⍵:2⋄(~∨/⍺∊∇¨⍳⍵-1)∧(1<⍺∨⍵)∧⍺≠⍵:⍺⋄⍵∇⍨1+⍺}

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