Um elemento primitivo de um campo finito é um gerador do grupo multiplicativo do campo. Em outras palavras, alphain F(q)é chamado de elemento primitivo se for uma q−1raiz primitiva da unidade em F(q). Isso significa que todos os elementos diferentes de zero F(q)podem ser escritos como alpha^ipara algum número inteiro (positivo) i.

Todos os elementos do campo F_{2^k}podem ser escritos como polinômios de grau, no máximo, k-1com coeficientes que são 1ou 0. Para concluir isso, seu código também precisa gerar um polinômio irredutível de grau kque define o campo que você está usando.

A tarefa é escrever código que gera um elemento primitivo F_{2^k}de sua escolha para cada um k = 1 .. 32em ordem.

Sua saída deve simplesmente listar os kcoeficientes do elemento primitivo em qualquer formato que você desejar e, em uma linha separada, os k+1elementos do polinômio irredutível. Separe as saídas para cada valor, kse possível.

Seu código pode levar o tempo que você quiser, mas você deve executá-lo até concluir antes de enviar sua resposta.

Você não pode usar nenhuma função interna ou de biblioteca que retorne elementos primitivos de um campo finito ou teste se um elemento é primitivo.

Um exemplo

Pois k = 1o único elemento primitivo é 1.

Pois k = 2nós temos F_4. Os 4 elementos são {0, 1, x, x + 1}então existem dois elementos primitivos xe x + 1. Então o código pode gerar

1 1
1 1 1

como os coeficientes, por exemplo, onde a segunda linha é o polinômio irredutível que, neste caso, é o x^2+x+1que possui coeficientes 1 1 1.

Pari / GP , 114 bytes

Inspirado pela resposta de isaacg em outra pergunta.

for(n=1,32,for(i=1,2^n,if(sumdiv(2^n-1,d,Mod(x,f=Mod(Pol(binary(2*2^n-i)),2))^d==1)==1,print([x,lift(f)]);break)))

Experimente online!

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Se built-ins forem permitidos:

Pari / GP , 61 bytes (não concorrente)

for(i=1,32,print([ffprimroot(ffgen(f=ffinit(2,i))),lift(f)]))

Experimente online!

Mathematica, 127 bytes

Do[For[i=2*2^n,PolynomialMod[x^Divisors[2^n-1]+1,i~IntegerDigits~2~FromDigits~x,Modulus->2]~Count~0!=1,i--];Print@{2,i},{n,32}]

Explicação:

$x$$n$$2^n - 1$$x^{2^n - 1} - 1$$x^i - 1$$i$$2^n - 1$

Resultado:

$8589934581$$111111111111111111111111111110101$

$$x^{32}+x^{31}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+\\x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+\\x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+\\x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$$

{2,3}

{2,7}

{2,13}

{2,25}

{2,61}

{2.115}

{2.253}

{2.501}

{2.1019}

{2.2041}

{2.4073}

{2.8137}

{2,16381}

{2,32743}

{2.65533}

{2,131053}

{2.262127}

{2.524263}

{2.1048531}

{2.2097145}

{2,4194227}

{2,8388589}

{2,16777213}

{2,33554351}

{2,67108849}

{2,134217697}

{2,268435427}

{2,536870805}

{2.1073741801}

{2,2147483533}

{2,4294967287}

{2,8589934581}