Os polinômios de Chebyshev são uma família de polinômios ortogonais que aparecem em todos os tipos de lugares da matemática e têm muitas propriedades interessantes. Uma caracterização deles é que eles são os polinômios únicos que satisfazem .T_n(cos(x)) = cos(n*x)

Desafio

Dado um número inteiro não negativo n, você deve ngerar o -ésimo polinômio Chebyshev. .T_n(x)

Definição

O nquinto polinômio de Chebyshev é dado pela seguinte recursão de três termos:

T₀(x) = 1
T₁(x) = x
T_n+1(x) = 2*x*T_n(x) - T_n-1(x)

Detalhes

Se o seu idioma tiver um tipo de polinômio nativo, você poderá usá-lo como saída, caso contrário, deverá exibir uma lista de coeficientes em ordem crescente ou decrescente, ou como uma string representando um polinômio.

Exemplos

T₀(x) = 1
T₁(x) = x 
T₂(x) = 2x^2 - 1
T₃(x) = 4x^3 - 3 x
T₄(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T₅(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T₁₀(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

No formato da lista de graus decrescentes que obteríamos e no formato de graus ascendentes que obteríamosT₃(x) = [4,0,-3,0]T₃(x) = [0,-3,0,4]

— flawr
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Se eu produzir uma lista, posso produzir 0 1(ie 0*x+1) para T_0?

— Luis Mendo

Desde que a ordem dos monômios seja consistente, tudo bem!

— flawr

@flawr está 2*x*(2*x**2 - 1) - xok como saída para 3 para suporte a polinômios, ou precisamos da representação como coeficientes desc?

— Uriel

11

Meta discussão sobre o tema dos títulos em inglês

— Mego 10/08

2

As imprecisões de ponto flutuante são aceitáveis? ou sejaT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]

— milhas

15

Mathematica, 15 bytes

#~ChebyshevT~x&

Obviamente, o Mathematica possui um builtin.

Se um formulário de entrada alternativo for permitido (10 bytes):

ChebyshevT

pega um número inteiro ne uma variável.

— JungHwan Min
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3

Não poderia ter adivinhado, hein. : P

— HyperNeutrino

14

Oitava , 39 bytes

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

Experimente online!

Explicação

cos((.5:n)/n*pi)constrói um vetor com as raízes do polinômio , dado por

polydá o polinômio monônico com essas raízes. Multiplicando por 2^n/2escalas os coeficientes, conforme necessário. roundgarante que os resultados sejam inteiros, apesar da precisão numérica.

— Luis Mendo
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1

Inteligente como sempre :)

— flawr

11

Pari / GP , 12 bytes

Sim, um embutido. Mais curto que o Mathematica.

polchebyshev

Experimente online!

Sem embutido:

Pari / GP , 34 bytes

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

Experimente online!

— alefalpha
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Leva polchebyshevapenas uma entrada e retorna o polinômio?

— JungHwan Min 12/08/19

@JungHwanMin Sim. xé o padrão indeterminado.

— alephalpha

10

Haskell , 62 bytes

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

Experimente online!

flawr salvou um byte.

— Lynn
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Isso é muito elegante! (Eu continuo esquecendo-se zipWithpara operações de vetor.)

— flawr

1

Eu acho que você pode até salvar mais um byte usando guardas: t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2), de que maneira você pode remover o par médio de parênteses na última linha :)

— flawr

Eu acho que você precisa mudar 0:para 0:0:- OP simplesmente não permite esse tipo de pular os zeros.

— Ørjan Johansen

7

CJam (21 bytes)

1a2,qi{0X$+2f*@.-}*;`

Este é um programa completo: o equivalente a um bloco anônimo tem o mesmo comprimento:

{1a2,@{0X$+2f*@.-}*;}

Demonstração online

— Peter Taylor
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6

Python + SymPy , 66 bytes

from sympy.abc import*
T=lambda n:n<2and x**n or 2*x*T(n-1)-T(n-2)

Experimente online!

Com representação de coeficientes descendentes

from sympy import*
x=symbols('x')
T=lambda n:n<2and x**n or expand(2*x*T(n-1)-T(n-2))

Experimente online!

— Uriel
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[1,x][n]->x**n

— alephalpha

5

SageMath, 25 bytes

lambda n:chebyshev_T(n,x)

Experimente online

— Mego
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5

MATL , 17 bytes

lFTi:"0yhEbFFh-]x

Os coeficientes são emitidos em ordem crescente de grau.

Experimente online! Ou verifique todos os casos de teste .

Explicação

Para a entrada n , o código aplica a relação recursiva n vezes. Os dois polinômios mais recentes são sempre mantidos na pilha. Quando um novo polinômio é calculado, o mais antigo é removido.

No final, o segundo polinômio é exibido (o último polinômio é excluído), pois fizemos muitas iterações.

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display

— Luis Mendo
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4

Gelatina , 18 bytes

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

Experimente online!

Retorna uma lista de coeficientes em ordem crescente.

Há outra solução para 17 bytes com imprecisões de ponto flutuante.

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

Experimente online!

Explicação

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively

— milhas
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14 bytes

— Freira vazada

2

Ruby + polinômio , 59 58 + 13 = 72 71 bytes

Usa a -rpolynomialbandeira.

f=->n{x=Polynomial.new 0,1;n<2?[1,x][n]:2*x*f[n-1]-f[n-2]}

— Value Ink
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2

J , 33 bytes

(0>.<:)2&*1:p.@;9:o._1^+:%~1+2*i.

Experimente online!

Supõe que imprecisões de ponto flutuante são aceitáveis e cria o emoji (0>.<:)

Para 41 bytes , existe outra solução que evita flutuações.

(0&,1:)`(-&2((-,&0 0)~2*0&,)&$:<:)@.(>&1)

Experimente online!

— milhas
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2

Python 2 , 79 bytes

f=lambda n:n>1and[2*a-b for a,b in zip([0]+f(n-1),f(n-2)+[0,0])]or range(1-n,2)

Experimente online!

— Chas Brown
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2

Axioma, 40 bytes

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

resultados

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

é possível definir uma lei de substituição para fórmula no uso do axioma acima da função f () para expansão de cos (n * x) em que n é um número inteiro

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec

— RosLuP
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1

C # (.NET Core) , 126 bytes

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

A contagem de bytes também inclui:

using System.Linq;

Experimente online!

A função retorna polinomial como uma matriz de coeficientes em ordem crescente (de x^0parax^n )

Explicação:

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference

— Grzegorz Puławski
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1

JavaScript (ES6), 65 bytes

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

Ineficiente para grandes n. Interessante, mas infelizmente também ineficiente:

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

Muito eficiente para 68 bytes:

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

Retorna uma matriz de coeficientes em ordem crescente.

— Neil
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Многочлены Чебышёва (polinômios de Chebyshev)

Desafio

Definição

Detalhes

Exemplos

Mathematica, 15 bytes

Oitava , 39 bytes

Explicação

Pari / GP , 12 bytes

Pari / GP , 34 bytes

Haskell , 62 bytes

CJam (21 bytes)

Python + SymPy , 66 bytes

Com representação de coeficientes descendentes

SageMath, 25 bytes

MATL , 17 bytes

Explicação

Gelatina , 18 bytes

Explicação

Ruby + polinômio , 59 58 + 13 = 72 71 bytes

J , 33 bytes

Python 2 , 79 bytes

Axioma, 40 bytes

C # (.NET Core) , 126 bytes

JavaScript (ES6), 65 bytes