Sequência de raízes quadradas inteiras


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Vamos definir uma sequência de raízes quadradas inteiras. Primeiro, a (1) = 1. Então, a (n) é o menor número inteiro positivo nunca visto antes ,

sqrt(a(n) + sqrt(a(n-1) + sqrt(... + sqrt(a(1)))))

é um número inteiro. Alguns exemplos:

a (2) é 3 porque é o menor número inteiro que sqrt(a(2) + sqrt(a(1))) = sqrt(a(2) + 1)é inteiro e 3 não ocorreu na sequência antes.

a (3) é 2 porque é o menor número inteiro que sqrt(a(3) + sqrt(a(2) + sqrt(a(1)))) = sqrt(a(3) + 2)é inteiro e 2 não ocorreu na sequência antes.

a (4) é 7 porque sqrt(a(4) + 2)é inteiro. Não poderíamos ter um (4) = 2 porque 2 já ocorreu em nossa sequência.

Escreva um programa ou função que, dado um parâmetro n, retorne uma sequência de números a (1) a a (n).

A sequência inicia 1,3,2,7,6,13,5, ....

Fonte desta seqüência é a partir desta pergunta Math.SE .


Uma plotagem dos primeiros 1000 elementos na sequência:

enredo



1
@ Mr.Xcoder Isso apenas torna interessante!
orlp

@ Mr.Xcoder Sim, eu concordo que é tão ruim que você não pode simplesmente copiar e colar a fórmula ...
Erik o Outgolfer

2
@EriktheOutgolfer Não. Ao receber n como entrada, você deve retornar ou imprimir uma lista de a (1) a (n). Em outras palavras, os primeiros n números na sequência. Não há 'indexação'.
orlp

1
Os erros causados ​​por imprecisões de ponto flutuante são aceitáveis ​​para entradas muito grandes?
Zgarb

Respostas:



3

Haskell , 103 87 bytes

Horrivelmente ineficiente, mas não depende da aritmética de ponto flutuante. Aquia(x) = sqrt(f(x)+a(x-1)) está uma sequência auxiliar, que simplifica o cálculo.

a 0=0
a x=[k|k<-[1..],m<-[k^2-a(x-1)],m>0,notElem m$f<$>[1..x-1]]!!0
f x=(a x)^2-a(x-1)

Experimente online!



3

MATL , 30 27 bytes

lXHiq:"`@ymH@+X^1\+}8MXHx@h

Experimente online! Ou veja uma exibição gráfica (demora um pouco; o tempo limite para entradas excede aproximadamente 60).

Explicação

l          % Push 1. This is the array that holds the sequence, initialized to
           % a single term. Will be extended with subsequent terms
XH         % Copy into clipboard H, which holds the latest result of the 
           % "accumulated" square root
iq:"       % Input n. Do the following n-1 times
  `        %   Do...while
    @      %     Push interaton index k, starting at 1. This is the candidate
           %     to being the next term of the sequence
    y      %     Push copy of array of terms found so far
    m      %     Ismbmer? True if k is in the array
    H      %     Push accumulated root
    @+     %     Add k
    X^     %     Square root
    1\     %     Modulo 1. This gives 0 if k gives an integer square root
    +      %     Add. Gives nonzero if k is in the array or doesn't give an
           %     integer square root; that is, if k is invalid.
           %   The body of the do...while loop ends here. If the top of the
           %   stack is nonzero a new iteration will be run. If it is zero that
           %   means that the current k is a new term of the sequence
  }        %   Finally: this is executed after the last iteration, right before
           %   the loop is exited
    8M     %     Push latest result of the square root
    XH     %     Copy in clipboard K
    x      %     Delete
    @      %     Push current k
    h      %     Append to the array
           % End do...while (implicit)
           % Display (implicit)

3

Mathematica, 104 bytes

(s=f={i=1};Do[t=1;While[!IntegerQ[d=Sqrt[t+s[[i]]]]||!f~FreeQ~t,t++];f~(A=AppendTo)~t;s~A~d;i++,#-1];f)&  


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A sequência das raízes quadradas também é muito interessante ...
e gera um padrão semelhante

1,2,2,3,3,4,3,5,3,6,4,4,5,4,6,5,5,6,6,7,4,7,5,7,6, 8,4,8,5,8,6,9,5,9,6,10,5,10,6,11,5,11,6,12,6,13,6,14,7,7, 8,7,9,7,10,7,11,7,12,7,13,7,14,8,8,9,8,10 ...

insira a descrição da imagem aqui

Também aqui estão as diferenças da sequência principal

insira a descrição da imagem aqui



2

JavaScript (ES7), 89 82 77 76 bytes

i=>(g=k=>(s=(++n+k)**.5)%1||u[n]?g(k):i--?[u[n]=n,...g(s,n=0)]:[])(n=0,u=[])

Demo

Formatado e comentado

i => (                             // given i = number of terms to compute
  u = [],                          // u = array of encountered values
  g = p =>                         // g = recursive function taking p = previous square root
    (s = (++n + p) ** .5) % 1      // increment n; if n + p is not a perfect square,
    || u[n] ?                      // or n was already used:
      g(p)                         //   do a recursive call with p unchanged
    :                              // else:
      i-- ?                        //   if there are other terms to compute:
        [u[n] = n, ...g(s, n = 0)] //     append n, set u[n] and call g() with p = s, n = 0
      :                            //   else:
        []                         //     stop recursion
  )(n = 0)                         // initial call to g() with n = p = 0


2

Casca , 21 bytes

!¡oḟȯΛ±sFo√+Som:`-N;1

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Quão?

!¡oḟȯΛ±sFo√+Som:`-N;1    Function that generates a list of prefixes of the sequence and indexes into it
                   ;1    The literal list [1]
 ¡                       Iterate the following function, collecting values in a list
  oḟȯΛ±sFo√+Som:`-N        This function takes a prefix of the sequence, l, and returns the next prefix.
                `-N      Get all the natural numbers that are not in l.
            Som:         Append l in front each of these numbers, generates all possible prefixes.
    ȯΛ±sFo√+               This predicate tests if sqrt(a(n) + sqrt(a(n-1) + sqrt(... + sqrt(a(1))))) is an integer.
        F                Fold from the left
         o√+             the composition of square root and plus
       s                 Convert to string
    ȯΛ±                  Are all the characters digits, (no '.')
  oḟ                     Find the first list in the list of possible prefixes that satisfies the above predicate
!                        Index into the list
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