Uma subsequência é qualquer sequência que você pode obter de outra excluindo qualquer quantidade de caracteres. As distintas subsequências não vazios de 100são 0, 1, 00, 10, 100. As subsequências não vazios de distintos 1010são 0, 1, 00, 01, 10, 11, 010, 100, 101, 110, 1010.

Escreva um programa ou função que, dado um número inteiro positivo n, retorne o número de subsequências não vazias distintas da expansão binária de n .

Exemplo: como 4está 100em binário, e vimos que havia cinco subsequências distintas não vazias acima f(4) = 5. A partir de n = 1 , a sequência começa:

1, 3, 2, 5, 6, 5, 3, 7, 10, 11, 9, 8, 9, 7, 4, 9, 14, 17, 15, 16, 19, 17, 12

No entanto, seu programa deve funcionar para n <2 ⁵⁰ in em um segundo em qualquer máquina moderna. Alguns grandes exemplos:

f(1099511627775) = 40
f(1099511627776) = 81
f(911188917558917) = 728765543
f(109260951837875) = 447464738
f(43765644099) = 5941674

Python 3 , 95 bytes 83 bytes

[-12 bytes graças a Mr.XCoder :)]

def f(x):
 v=[2,1];c=1
 for i in bin(x)[3:]:k=int(i);c+=v[k];v[1-k]+=v[k]
 return c

Experimente online!

Uma nota sobre o algoritmo. O algoritmo calcula o incremento em subsequências únicas dadas pelo bit em uma determinada posição t. O incremento para o primeiro bit é sempre 1. O algoritmo passa pela sequência dos bits s (t) e adiciona o incremento v [s (t)]. Em cada etapa, o incremento para o complemento de s (t), v [1 - s (t)] é atualizado para v [1] + v [0]. O número final é a soma de todos os incrementos.

Ele deve ser executado em O (log2 (n)), onde n é o número de entrada.

JavaScript (ES6), 53 51 bytes

f=(n,r=~(a=[]))=>n<1?~r:f(n/2,r*2-~~a[n&=1],a[n]=r)

Casos de teste

f=(n,r=~(a=[]))=>n<1?~r:f(n/2,r*2-~~a[n&=1],a[n]=r)

console.log(f(1099511627775))   // 40
console.log(f(1099511627776))   // 81
console.log(f(911188917558917)) // 728765543
console.log(f(109260951837875)) // 447464738
console.log(f(43765644099))     // 5941674

Formatado e comentado

f = (                      // f is a recursive function taking:
  n,                       //   n = integer
  r = ~(                   //   r = last result, initially set to -1
    a = []                 //   and using a[] = last results for 0 and 1,
  )                        //   implicitly initialized to [0, 0]
) =>                       //
  n < 1 ?                  // if n is less than 1:
    ~r                     //   we're done: return -(r + 1)
  :                        // else:
    f(                     //   do a recursive call with:
      n / 2,               //     n / 2
      r * 2 - ~~a[n &= 1], //     updated result = r * 2 - last result for this binary digit
      a[n] = r             //     update last result for this binary digit
    )                      //   end of recursive call

Versão não recursiva, 63 bytes

Guardado 3 bytes graças a @ThePirateBay

s=>[...s.toString(2)].map(l=c=>l[p=r,r=r*2-~~l[c],c]=p,r=1)|r-1

Casos de teste

let f =

s=>[...s.toString(2)].map(l=c=>l[p=r,r=r*2-~~l[c],c]=p,r=1)|r-1

console.log(f(1099511627775))   // 40
console.log(f(1099511627776))   // 81
console.log(f(911188917558917)) // 728765543
console.log(f(109260951837875)) // 447464738
console.log(f(43765644099))     // 5941674

Python 2 , 56 bytes

f=lambda x,a=1,b=1:x and f(x/2,a+~x%2*b,x%2*a+b)or a+b-2

Experimente online!

Tomando o método da NofP .

59 bytes iterativamente:

x=input()
v=[1,1]
while x:v[x%2]=sum(v);x/=2
print sum(v)-2

Experimente online!

Gelatina , 10 bytes

B3;BSṛ¦/’S

Isso usa a melhoria do @ xnor no algoritmo do @ NofP .

Experimente online!

fundo

Seja (a ₁ , ..., a _n ) uma sequência binária finita. Para cada número inteiro não negativo k ≤ n , definir o _k medida que o número de subsequências únicas de (um ₁ , ..., um _k ) que está vazio ou final em 1 , z _k medida que o número de subsequências que são únicas vazio ou termina em 0 .

Claramente, o ₀ = z ₀ = 1 , pois a única subsequência da sequência vazia é a sequência vazia.

Para cada índice k , o número total de subsequências de (a ₁ , ..., um _k ) é o _k + z _k - 1 (subtraindo 1 contas para o facto de que tanto o _k e z _k contagem a sequência de vazio). O número total de subsequências não vazias é, portanto, o _k + z _k - 2 . O desafio pede para calcular o _n + z _n - 2 .

Sempre que k> 0 , podemos calcular o _k e z _k de forma recursiva. Existem dois casos:

• a _k = 1

  z _k = z _k-1 , uma vez que (a ₁ , ..., a _k-1 ) e (a ₁ , ..., a _k-1 , 1) têm as mesmas subsequências que terminam em 0 .

  Para cada uma das S _k - 1 subsequências não vazios de (a ₁ , ..., um _k ) que terminam em 1 , que pode remover o arrasto 1 para se obter um do o _k-1 + z _k-1 - 1 subsequências (a ₁ , ..., a _k-1 ) . Por outro lado, adicionando-se um 1 para cada um destes o _k-1 + z _k-1 - 1 sequências resulta em um dos o _k - 1 sequências anteriores. Assim, o _k - 1 = o_k-1 + z _k-1 - 1 e o _k = o _k-1 + z _k-1 .

• a _k = 0

  De modo semelhante ao caso anterior, obtém-se as fórmulas recorrentes o _k = o _k-1 e z _k = z _k-1 + o _k-1 .

Como funciona

B3;BSṛ¦/’S  Main link. Argument: n (positive integer)

B           Binary; convert n to base 2.
 3;         Prepend a 3.
   B        Binary; convert all integers in the resulting array to base 2, mapping
            0 to [0], 1 to [1], and the prepended 3 to [1, 1].
       /    Reduce the resulting array by the quicklink to the left, which will be 
            called with left argument [x, y] (integer pair) and right argument [j] 
            (either [0] or [1]).
      ¦     Sparse application.
    S           Compute the sum (x + y) and...
     ṛ          for each index in the right argument (i.e., for j)...
            replace the element of [x, y] at that index with (x + y).
       ’    Decrement both integers in the resulting pair.
        S   Take the sum.

05AB1E , 12 bytes

0¸sbvDO>yǝ}O

Experimente online! Explicação: Conforme indicado pelas outras respostas, o número de subsequências para uma cadeia binária a..y0que termina em 1 é igual ao número da cadeia binária a..y, enquanto o número que termina em a 0é o número total de subsequências para a binária string a..y(cada qual obtém um 0sufixo) mais uma para 0si. Diferentemente das outras respostas, não incluo a subsequência vazia, pois isso salva um byte na construção do estado inicial.

0¸s             Push [0] under the input
   b            Convert the input to binary
    v     }     Loop over the digits
     D          Duplicate the array
      O         Take the sum
       >        Increment
        yǝ      Replace the index corresponding to the binary digit
           O    Take the sum of the final array

Java 8, 97 bytes

n->f(n,1,1)long f(long n,long a,long b){return n>0?f(n/2,a+Math.floorMod(~n,2)*b,n%2*a+b):a+b-2;}

Porta da resposta Python 2 do @xnor , que por sua vez é uma melhoria da resposta Python 3 do @NofP .

Experimente aqui.

Talvez seja bom que a tag de tempo restrito estivesse presente, porque inicialmente eu tinha o seguinte para forçar bruteforce todas as subsequências:

import java.util.*;n->p(n.toString(n,2)).size()-1;Set p(String s){Set r=new HashSet();r.add("");if(s.isEmpty())return r;Set q=p(s.substring(1));r.addAll(q);for(Object o:q)r.add(""+s.charAt(0)+o);return r;}

Experimente aqui.

O que também funcionou, mas levou muito tempo para os últimos três casos de teste. Sem mencionar que é muito mais longo ( 208 204 bytes ).

Código da máquina 6502 (C64), 321 bytes

00 C0 20 FD AE A2 00 9D 4F C1 E8 20 73 00 90 F7 9D 4F C1 A0 FF C8 B9 4F C1 D0
FA A2 15 CA 88 30 0A B9 4F C1 29 0F 9D 4F C1 10 F2 A9 00 9D 4F C1 CA 10 F8 A9
00 A0 07 99 64 C1 88 10 FA A0 40 A2 6C 18 BD E4 C0 90 02 09 10 4A 9D E4 C0 E8
10 F2 A2 07 7E 64 C1 CA 10 FA 88 F0 13 A2 13 BD 50 C1 C9 08 30 05 E9 03 9D 50
C1 CA 10 F1 30 D1 A2 0F A9 00 9D 3F C1 CA D0 FA A9 01 8D 3F C1 8D 47 C1 A2 08
CA BD 64 C1 F0 FA A0 09 1E 64 C1 88 90 FA B0 0A CA 30 28 A0 08 1E 64 C1 90 04
A9 47 B0 02 A9 4F 8D AF C0 86 FE A2 F8 18 BD 47 C0 7D 4F C0 9D 47 C0 E8 D0 F4
A6 FE 88 D0 DC F0 D5 A2 F8 BD 47 C0 7D 4F C0 9D 6C C0 E8 D0 F4 AD 64 C1 E9 01
8D 64 C1 A2 F9 BD 6C C0 E9 00 9D 6C C0 E8 D0 F5 A0 15 A9 00 99 4E C1 88 D0 FA
A0 40 A2 13 BD 50 C1 C9 05 30 05 69 02 9D 50 C1 CA 10 F1 0E 64 C1 A2 F9 3E 6C
C0 E8 D0 FA A2 13 BD 50 C1 2A C9 10 29 0F 9D 50 C1 CA 10 F2 88 D0 D1 E0 14 F0
06 E8 BD 4F C1 F0 F6 09 30 99 4F C1 C8 E8 E0 15 F0 05 BD 4F C1 90 F0 A9 00 99
4F C1 A9 4F A0 C1 4C 1E AB

Demonstração online

Demonstração online com verificação de erros (346 bytes)

Uso: sys49152,[n] por exemplo sys49152,911188917558917.

A restrição de tempo e os casos de teste exigem soluções para serem calculados em números de 64 bits, portanto, o tempo para provar que o C64 se qualifica como " máquina moderna ";)

Obviamente, isso precisa de um pouco de código, o sistema operacional não fornece nada para números inteiros maiores que 16 bits. A parte lame aqui: é mais uma implementação (levemente modificada) do algoritmo da NofP resp. Variante aprimorada do xnor . Obrigado pela ideia;)

Explicação

Aqui está uma lista de desmontagem comentada da parte relevante que está executando o algoritmo:

.C:c06c  A2 0F       LDX #$0F           ; 15 bytes to clear
.C:c06e  A9 00       LDA #$00
.C:c070   .clearloop:
.C:c070  9D 3F C1    STA .num_a,X
.C:c073  CA          DEX
.C:c074  D0 FA       BNE .clearloop
.C:c076  A9 01       LDA #$01           ; initialize num_a and num_b
.C:c078  8D 3F C1    STA .num_a         ; to 1
.C:c07b  8D 47 C1    STA .num_b
.C:c07e  A2 08       LDX #$08           ; 8 bytes of input to check,
.C:c080   .findmsb:                     ; start at most significant
.C:c080  CA          DEX
.C:c081  BD 64 C1    LDA .nc_num,X
.C:c084  F0 FA       BEQ .findmsb       ; repeat until non-0 byte found
.C:c086  A0 09       LDY #$09           ; 8 bits to check (+1 for pre dec)
.C:c088   .findbit:
.C:c088  1E 64 C1    ASL .nc_num,X      ; shift left, highest bit to carry
.C:c08b  88          DEY
.C:c08c  90 FA       BCC .findbit       ; bit was zero -> repeat
.C:c08e  B0 0A       BCS .loopentry     ; jump into calculation loop
.C:c090   .mainloop:
.C:c090  CA          DEX                ; next byte
.C:c091  30 28       BMI .done          ; index -1? -> done calculating
.C:c093  A0 08       LDY #$08           ; 8 bits to check
.C:c095   .bitloop:
.C:c095  1E 64 C1    ASL .nc_num,X      ; shift left, highest bit to carry
.C:c098  90 04       BCC .tgt_b         ; if 0, store addition result in num_b
.C:c09a   .loopentry:
.C:c09a  A9 47       LDA #$47
.C:c09c  B0 02       BCS .tgt_a         ; ... else store in num_a ...
.C:c09e   .tgt_b:
.C:c09e  A9 4F       LDA #$4F
.C:c0a0   .tgt_a:
.C:c0a0  8D AF C0    STA $C0AF          ; ... using self-modification.
.C:c0a3  86 FE       STX $FE            ; save byte index
.C:c0a5  A2 F8       LDX #$F8           ; index for adding
.C:c0a7  18          CLC
.C:c0a8   .addloop:
.C:c0a8  BD 47 C0    LDA $C047,X        ; load byte from num_a
.C:c0ab  7D 4F C0    ADC $C04F,X        ; add byte from num_b
.C:c0ae  9D 47 C0    STA $C047,X        ; store to num_a or num_b
.C:c0b1  E8          INX                ; next index
.C:c0b2  D0 F4       BNE .addloop       ; done if index overflown
.C:c0b4  A6 FE       LDX $FE            ; restore byte index
.C:c0b6  88          DEY                ; decrement bit index
.C:c0b7  D0 DC       BNE .bitloop       ; bits left in current byte -> repeat
.C:c0b9  F0 D5       BEQ .mainloop      ; else repeat main loop
.C:c0bb   .done:
.C:c0bb  A2 F8       LDX #$F8           ; index for adding
.C:c0bd   .addloop2:
.C:c0bd  BD 47 C0    LDA $C047,X        ; load byte from num_a
.C:c0c0  7D 4F C0    ADC $C04F,X        ; add byte from num_b
.C:c0c3  9D 6C C0    STA $C06C,X        ; store to nc_num (result)
.C:c0c6  E8          INX                ; next index
.C:c0c7  D0 F4       BNE .addloop2      ; done if index overflown
.C:c0c9  AD 64 C1    LDA .nc_num        ; load least significant result byte
.C:c0cc  E9 01       SBC #$01           ; subtract 2 (1 + negated carry)
.C:c0ce  8D 64 C1    STA .nc_num        ; store least significant result byte
.C:c0d1  A2 F9       LDX #$F9           ; index for subtract
.C:c0d3   .subloop:
.C:c0d3  BD 6C C0    LDA $C06C,X        ; subtract 0 from all other bytes
.C:c0d6  E9 00       SBC #$00           ; for handling carry if necessary
.C:c0d8  9D 6C C0    STA $C06C,X
.C:c0db  E8          INX
.C:c0dc  D0 F5       BNE .subloop       

O restante é entrada / saída e conversão entre string e número inteiro não assinado de 64 bits (little-endian) usando algum algoritmo de duplo toque. Caso você esteja interessado, aqui está toda a fonte de montagem da versão com verificação de erros - a versão "golfed" está na ramificação "golf".