Inspirado neste vídeo por tecmath .

Para obter uma aproximação da raiz quadrada de qualquer número x, pegue a raiz quadrada inteira s(ou seja, o maior número inteiro que s * s ≤ x) e faça o cálculo s + (x - s^2) / (2 * s). Vamos chamar essa aproximação S(x). (Nota: isso é equivalente à aplicação de uma etapa do método Newton-Raphson).

Embora isso tenha uma peculiaridade, onde S (n ^ 2 - 1) sempre será √ (n ^ 2), mas geralmente será muito preciso. Em alguns casos maiores, isso pode ter uma precisão> 99,99%.

Entrada e saída

Você receberá um número em qualquer formato conveniente.

Exemplos

Formato: Entrada -> Saída

2 -> 1.50
5 -> 2.25
15 -> 4.00
19 -> 4.37               // actually 4.37       + 1/200
27 -> 5.20
39 -> 6.25
47 -> 6.91               // actually 6.91       + 1/300
57 -> 7.57               // actually 7.57       + 1/700
2612 -> 51.10            // actually 51.10      + 2/255
643545345 -> 25368.19    // actually 25,368.19  + 250,000,000/45,113,102,859
35235234236 -> 187710.50 // actually 187,710.50 + 500,000,000/77,374,278,481

Especificações

• Sua saída deve ser arredondada para pelo menos a centésima mais próxima (ou seja, se a resposta for 47,2851, você pode gerar 47,29)

• Sua saída não precisa ter os seguintes zeros e um ponto decimal se a resposta for um número inteiro (por exemplo, 125,00 também pode ser emitido como 125 e 125,0)

• Você não precisa suportar números abaixo de 1.

• Você não precisa oferecer suporte a entradas não inteiras. (ou seja, 1,52 etc ...)

Regras

As brechas padrão são proibidas.

Este é um código-golf , pelo que a resposta mais curta em bytes vence.

Geléia ,  8  7 bytes

-1 byte graças à fórmula matemática simplificada de Olivier Grégoire - veja a resposta em Java .

÷ƽ+ƽH

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Como?

÷ƽ+ƽH - Link: number, n
 ƽ     - integer square root of n  -> s
÷       - divide                    -> n / s
    ƽ  - integer square root of n  -> s
   +    - add                       -> n / s + s
      H - halve                     -> (n / s + s) / 2

Haskell , 34 bytes

f x=last[s+x/s|s<-[1..x],s*s<=x]/2

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Explicação no pseudocódigo imperativo:

results=[]
foreach s in [1..x]:
 if s*s<=x:
  results.append(s+x/s)
return results[end]/2

Java (OpenJDK 8) , 32 bytes

n->(n/(n=(int)Math.sqrt(n))+n)/2

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Explicações

O código é equivalente a isso:

double approx_sqrt(double x) {
  double s = (int)Math.sqrt(x);  // assign the root integer to s
  return (x / s + s) / 2
}

A matemática por trás:

s + (x - s²) / (2 * s)  =  (2 * s² + x - s²) / (2 * s)
                        =  (x + s²) / (2 * s)
                        =  (x + s²) / s / 2
                        =  ((x + s²) / s) / 2
                        =  (x / s + s² / s) / 2
                        =  (x / s + s) / 2

Python 2 , 47 ... 36 bytes

-3 bytes graças a @JungHwanMin
-1 byte graças a @HyperNeutrino
-2 bytes graças a @JonathanFrech
-3 bytes graças a @ OlivierGrégoire

def f(x):s=int(x**.5);print(x/s+s)/2

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MATL , 12 9 bytes

X^kGy/+2/

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R, 43 bytes 29 bytes

x=scan()
(x/(s=x^.5%/%1)+s)/2

Graças a @ Giuseppe pela nova equação e ajuda no golfe de 12 bytes com a solução de divisão inteira. Ao trocar a chamada de função para a verificação, joguei mais alguns bytes.

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APL (Dyalog) , 20 16 bytes

{.5×s+⍵÷s←⌊⍵*.5}

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JavaScript (ES7), 22 bytes

x=>(s=x**.5|0)/2+x/s/2

Nós realmente não precisamos de uma variável intermediária, portanto, isso pode ser reescrito como:

x=>x/(x=x**.5|0)/2+x/2

Casos de teste

let f =

x=>x/(x=x**.5|0)/2+x/2

console.log(f(2))           // 1.50
console.log(f(5))           // 2.25
console.log(f(15))          // 4.00
console.log(f(19))          // 4.37
console.log(f(27))          // 5.20
console.log(f(39))          // 6.25
console.log(f(47))          // 6.91
console.log(f(57))          // 7.57
console.log(f(2612))        // 51.10
console.log(f(643545345))   // 25368.19
console.log(f(35235234236)) // 187710.50

C, 34 bytes

Obrigado a @Olivier Grégoire!

s;
#define f(x)(x/(s=sqrt(x))+s)/2

Funciona apenas com float entradas.

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C,  41   39  37 bytes

s;
#define f(x).5/(s=sqrt(x))*(x+s*s)

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C,  49   47   45  43 bytes

s;float f(x){return.5/(s=sqrt(x))*(x+s*s);}

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Obrigado a @JungHwan Min por salvar dois bytes!

Haskell , 40 bytes

Outro bytes a poeira, graças a H.PWiz.

f n|s<-realToFrac$floor$sqrt n=s/2+n/s/2

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AWK , 47 44 38 bytes

{s=int($1^.5);printf"%.2f",$1/2/s+s/2}

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NOTA: O TIO like possui 2 bytes extras para \ntornar a saída mais bonita. :)

Parece um pouco trapaceiro usar o sqrt para encontrar a raiz quadrada, então aqui está uma versão com mais alguns bytes que não.

{for(;++s*s<=$1;);s--;printf("%.3f\n",s+($1-s*s)/(2*s))}

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Raquete , 92 bytes

Obrigado a @JungHwan Min pela dica na seção de comentários

(λ(x)(let([s(integer-sqrt x)])(~r(exact->inexact(/(+ x(* s s))(* 2 s)))#:precision'(= 2))))

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Ungolfed

(define(fun x)
  (let ([square (integer-sqrt x)])
    (~r (exact->inexact (/ (+ x (* square square)) (* 2 square)))
        #:precision'(= 2))))

PowerShell , 54 bytes

param($x)($x+($s=(1..$x|?{$_*$_-le$x})[-1])*$s)/(2*$s)

Experimente online!ou Verifique alguns casos de teste

Recebe entrada $xe, em seguida, faz exatamente o que é solicitado. A |?parte encontra o máximo inteiro que, quando quadrados, é -less-que-ou- equa para a entrada $x, em seguida, realizamos os cálculos necessários. A saída está implícita.

Casca , 9 bytes

½Ṡ§+K/(⌊√

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Ainda há algo feio nessa resposta, mas não consigo encontrar uma solução mais curta.

Explicação

Estou implementando uma etapa do algoritmo de Newton (que é de fato equivalente à proposta nesta pergunta)

½Ṡ§+K/(⌊√
  §+K/       A function which takes two numbers s and x, and returns s+x/s
 Ṡ           Call this function with the input as second argument and
      (⌊√    the floor of the square-root of the input as first argument
½            Halve the final result

Pyt , 11 10 bytes

←Đ√⌊Đ↔⇹/+₂

Explicação

code                explanation                        stack
←                   get input                          [input]
 Đ                  duplicate ToS                      [input,input]
  √⌊                calculate s                        [input,s]
    Đ               duplicate ToS                      [input,s,s]
     ↔              reverse stack                      [s,s,input]
      ⇹             swap ToS and SoS                   [s,input,s]
       /            divide                             [s,input/s]
        +           add                                [s+input/s]
         ₂          halve                              [(s+input/s)/2]
                    implicit print

Via Láctea , 17 14 bytes

-3 bytes usando a fórmula de Olivier Grégoire

^^':2;g:>/+2/!

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Explicação

code              explanation                   stack layout

^^                clear preinitialized stack    []
  ':              push input and duplicate it   [input, input]
    2;            push 2 and swap ToS and SoS   [input, 2, input]
      g           nth root                      [input, s=floor(sqrt(input))]
       :          duplicate ToS                 [input, s, s]
        >         rotate stack right            [s, input, s]
         /        divide                        [s, input/s]
          +       add                           [s+input/s]
           2/     divide by 2                   [(s+input/s)/2]
             !    output                        => (s+input/s)/2

C # (.NET Core) , 39 bytes

v=>(v/(v=(int)System.Math.Sqrt(v))+v)/2

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Versão AC # da resposta Java de Olivier Grégoire .